Questão 3 - Um estudo de Bechtel et al., 2009, descrito em Archives of Environmen tal & Occupational Health, considerou hidrocarbonetos aromáticos policíclicos e a função do sistema imune em gado. Alguns fados estavam perto de importantes áreas de produção de petróleo e de gás no oeste do Canadá. A exposição média mensal a PM1,0 (material particulado <1 \mu m em diâmetro) foi aproximadamente 7,2 \mu g / \mathrm{m} 3, com desvio-padrão de 1,5 \mu g / \mathrm{m} 3. Admita que a exposição mensal seja normalmente distribuída.
Qual é o nível de exposição mensal excedido com probabilidade de 0,05 ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o nível de exposição mensal x tal que a probabilidade de a exposição exceder esse nível seja 0,05. Em outras palavras, achar x tal que
P(X>x)=0,05.
Informações dadas (todas retiradas do enunciado):
X\sim\text{Normal}(\mu,\sigma^2),
\mu=7,2,\quad \sigma=1,5,
onde as unidades são \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3 (microgramas por metro cúbico). A distribuição mensal é assumida normal.

Passo 2

Entendendo o que significa "exceder com probabilidade 0,05". Se queremos P(X>x)=0,05, então a probabilidade de X ser menor ou igual a x é
P(X\le x)=1-0,05=0,95.
Ou seja, x é o percentil de ordem 95\% (o quantil de 0,95) da distribuição de X. Para trabalhar com a normal padrão, usamos a padronização: definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição \text{Normal}(0,1). A relação entre os quantis é
P(X\le x)=0,95 \quad\Longleftrightarrow\quad P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,95.

Passo 3

Agora usamos a tabela (ou a função inversa da normal padrão) para encontrar o valor z tal que
P(Z\le z)=0,95.
O valor padrão conhecido é
z_{0,95}=\Phi^{-1}(0,95)\approx 1,645.
Portanto temos
\frac{x-\mu}{\sigma}=1,645.

Passo 4

Resolver para x. Usando a fórmula acima:
x=\mu+\sigma\cdot 1,645.
Substituindo \mu=7,2 e \sigma=1,5:
x=7,2+1,5\cdot 1,645.
Calcule passo a passo:
1,5\cdot 1,645=2,4675,
x=7,2+2,4675=9,6675.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil em contexto de unidades ambientais):
x\approx 9,67\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.

Passo 5

Interpretação final (pra te animar): isso significa que cerca de 5\% das exposições mensais ultrapassam aproximadamente \,9,67\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3. Se você estiver numa prova e não lembrar do z exato, memorize que para cauda superior 5\% o z é cerca de 1,645 — isso resolve rápido!

Resposta

9,67\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3

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