(a) (1,5) Determine o valor de x, \underline{x \geq 0}, tal que P(X>x)=0,1;
(b) (1,0) Suponha que 100 deste componentes sejam testados por 2.000 horas e que o funcionamento ou não destes componentes sejam eventos independentes. Considerando que \underline{Y} é o número de componentes que estão em funcionamento ao final do período de teste, determine uma expresssão para a distribuição de probabilidades de Y.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede.
Dado: a variável aleatória X (tempo até a falha, em horas) tem densidade
Pedido (a): determinar o valor de x, com x\ge 0, tal que P(X>x)=0,1.
Pedido (b): supondo que 100 componentes idênticos são testados por 2000 horas, de forma independente; se Y é o número de componentes que ainda estão em funcionamento ao final do teste, determinar uma expressão para a distribuição de probabilidades de Y.
Passo 2
Entendendo a distribuição exponencial e a função sobrevivência (explicação didática).
A densidade dada é a da família exponencial na forma \displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x>0. Aqui o parâmetro \lambda é a taxa. Identificamos
\lambda=\frac{1}{2000}.
A função sobrevivência (ou probabilidade de sobrevivência) é definida por
S(x)=P(X>x)=\int_{x}^{\infty} f(t)\,dt.
Vamos calcular essa integral explicitamente para a nossa densidade. Escrevemos
A primitiva de \displaystyle \exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\} é -2000\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\} multiplicada por \frac{1}{2000} dá -\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\}. Avaliando de t=x até t=\infty obtemos
Como os eventos “este componente sobrevive” para os 100 componentes são independentes (hipótese do enunciado), podemos modelar cada componente por uma variável indicadora Bernoulli com parâmetro p=e^{-1}.
Seja Y a soma dessas 100 variáveis indicadoras; a soma de n Bernoullis independentes iguais é uma variável binomial. Assim