Questão 1. (2,5) O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico é uma variável aleatória X com função de densidade
f(x)=\frac{1}{2000} \exp \left\{-\frac{x}{2000}\right\}, \quad x>0 . \quad e=\exp
(a) (1,5) Determine o valor de x, \underline{x \geq 0}, tal que P(X>x)=0,1;
(b) (1,0) Suponha que 100 deste componentes sejam testados por 2.000 horas e que o funcionamento ou não destes componentes sejam eventos independentes. Considerando que \underline{Y} é o número de componentes que estão em funcionamento ao final do período de teste, determine uma expresssão para a distribuição de probabilidades de Y.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede.
  • Dado: a variável aleatória X (tempo até a falha, em horas) tem densidade
f(x)=\frac{1}{2000}\exp\left\{-\frac{x}{2000}\right\},\qquad x>0.
  • Pedido (a): determinar o valor de x, com x\ge 0, tal que P(X>x)=0,1.
  • Pedido (b): supondo que 100 componentes idênticos são testados por 2000 horas, de forma independente; se Y é o número de componentes que ainda estão em funcionamento ao final do teste, determinar uma expressão para a distribuição de probabilidades de Y.

Passo 2

Entendendo a distribuição exponencial e a função sobrevivência (explicação didática).
  • A densidade dada é a da família exponencial na forma \displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x>0. Aqui o parâmetro \lambda é a taxa. Identificamos
\lambda=\frac{1}{2000}.
  • A função sobrevivência (ou probabilidade de sobrevivência) é definida por
S(x)=P(X>x)=\int_{x}^{\infty} f(t)\,dt.
  • Vamos calcular essa integral explicitamente para a nossa densidade. Escrevemos
S(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{1}{2000}\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\}\,dt.
A primitiva de \displaystyle \exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\} é -2000\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\} multiplicada por \frac{1}{2000} -\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\}. Avaliando de t=x até t=\infty obtemos
S(x)=\left[ -\exp\left\{-\frac{t}{2000}\right\}\right]_{t=x}^{t=\infty} =0 - \left(-\exp\left\{-\frac{x}{2000}\right\}\right) =\exp\left\{-\frac{x}{2000}\right\}.
  • Interpretação: para a exponencial a probabilidade de sobreviver mais que x horas é simplesmente e^{-x/2000}.

Passo 3

Resolvendo o item (a): encontrar x tal que P(X>x)=0,1.
  • Usamos a expressão da sobrevivência:
P(X>x)=\exp\left\{-\frac{x}{2000}\right\}=0,1.
  • Tomando logaritmo natural dos dois lados (note que \ln é estritamente crescente e \ln(0,1)<0):
-\frac{x}{2000}=\ln(0,1).
  • Isolando x:
x=-2000\ln(0,1)=2000\ln(10).
  • Cálculo numérico rápido para ter um valor em horas: \ln(10)\approx 2,302585093, então
x\approx 2000\cdot 2,302585093 \approx 4605,17\\ \text{horas}.
Portanto o valor procurado é x=2000\ln(10)\approx 4605{,}17 horas.

Passo 4

Resolvendo o item (b): distribuição de Y (explicação didática passo a passo).
  • Cada componente, testado por 2000 horas, sobrevive até o final com probabilidade
p=P(X>2000)=S(2000)=\exp\left\{-\frac{2000}{2000}\right\}=\exp(-1)=e^{-1}\approx 0{,}3679.
  • Como os eventos “este componente sobrevive” para os 100 componentes são independentes (hipótese do enunciado), podemos modelar cada componente por uma variável indicadora Bernoulli com parâmetro p=e^{-1}.
  • Seja Y a soma dessas 100 variáveis indicadoras; a soma de n Bernoullis independentes iguais é uma variável binomial. Assim
Y\sim \operatorname{Bin}\bigl(n=100,\;p=e^{-1}\bigr).
  • A função de massa de probabilidade (pmf) da binomial é, para k=0,1,\dots,100,
P(Y=k)=\binom{100}{k}\,p^{k}(1-p)^{100-k}
com p=e^{-1}. Para intuição, a esperança e variância são
E[Y]=100\,p=100e^{-1}\approx 36{,}79,\qquad \operatorname{Var}(Y)=100\,p(1-p).

Resposta

(a) x=2000\ln(10)\approx 4605{,}17 horas.
(b) Y\sim \operatorname{Bin}\bigl(100,p=e^{-1}\bigr), ou seja,
P(Y=k)=\binom{100}{k}\,(e^{-1})^{k}\bigl(1-e^{-1}\bigr)^{100-k},\quad k=0,1,\dots,100.

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