Questão Extra 3: Considere um campo elétrico dado por
\vec{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{-b r}}{r^{2}}(1+b r) \hat{\mathbf{r}}
em que b é um parâmetro constante. Obtenha \rho(r) (na ordem que julgar mais conveniente).

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico radial
\vec{E}(\vec r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{-b r}}{r^{2}}(1+b r)\,\hat{\mathbf r},
com b constante, e pede \rho(r) (a densidade de carga associada a esse campo).
Informações relevantes:
  • O campo é radial: só tem componente na direção \hat{\mathbf r} e depende só de r=\lVert\vec r\rVert.
  • O objetivo é achar a densidade de carga \rho que satisfaz as equações de Maxwell estáticas (lei de Gauss / equação de Poisson).

Passo 2

Relação que vou usar (uma “aula rápida”): a equação de Gauss na forma local diz que
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Para um campo puramente radial \vec{E}=E_r(r)\,\hat{\mathbf r} em coordenadas esféricas vale a fórmula simples
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_r(r)\bigr).
Explicando essa fórmula: a divergência mede o fluxo líquido por unidade de volume. Para simetria esférica, o fluxo através de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}E_r(r); dividir pela área 4\pi r^{2} e derivar em r conduz à expressão com \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}(r^{2}E_r). Essa é uma identidade padrão em coordenadas esféricas.

Passo 3

Identifico a componente radial E_r(r) do campo dado:
E_r(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{-b r}}{r^{2}}(1+b r).
Calculo r^{2}E_r(r) (isso simplifica bastante):
r^{2}E_r(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\,e^{-b r}(1+b r).

Passo 4

Agora derivo r^{2}E_r em relação a r. Primeiro calcule a derivada da função f(r)=e^{-br}(1+br):
\frac{d}{dr}\bigl(e^{-br}(1+br)\bigr) = e^{-br}\bigl(-b(1+br)+b\bigr) = -b^{2}r\,e^{-br}.
Portanto
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_r(r)\bigr) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigl(-b^{2}r\,e^{-br}\bigr).
Aplicando a fórmula da divergência:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_r(r)\bigr) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(-\frac{b^{2}e^{-br}}{r}\right), \qquad r>0.
Multiplicando por \varepsilon_{0} obtemos a densidade de carga para r>0:
\rho(r)=\varepsilon_{0}\nabla\cdot\vec{E}=-\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi r},\qquad r>0.

Passo 5

Comentário sobre a origem e a singularidade em r=0 (muito importante na prova): o cálculo acima foi válido para r>0. O campo dado tem comportamento assintótico para r\to0:
\vec{E}\stackrel{r\to0}{\sim}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}\,\hat{\mathbf r},
ou seja, próximo de r=0 o campo se comporta como o campo de uma carga pontual q no origem. Isso indica que existe uma contribuição singular (term involving a delta) localizada em r=0. Uma maneira direta de ver isso é calcular o fluxo através de uma esfera pequena de raio R:
\Phi(R)=\oint_{S_R}\vec E\cdot d\vec A=4\pi R^{2}E_r(R)=\frac{q}{\varepsilon_{0}}e^{-bR}(1+bR).
Tomando R\to0 obtemos \Phi(0^+)=\dfrac{q}{\varepsilon_{0}}. Pela lei de Gauss isso implica que existe uma carga pontual q no interior (na origem). A densidade correspondente é um delta tridimensional localizado na origem, ou seja q\delta^{(3)}(\vec r).
Há também uma forma matemática elegante que combina as duas contribuições usando a identidade conhecida para o Yukawa:
\bigl(\nabla^{2}-b^{2}\bigr)\frac{e^{-br}}{r}=-4\pi\delta^{(3)}(\vec r).
Multiplicando por \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} e reorganizando resulta em
\nabla^{2}\varphi=\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi\varepsilon_{0} r}-\frac{q}{\varepsilon_{0}}\delta^{(3)}(\vec r),
onde \varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{e^{-br}}{r} é o potencial associado (note que \vec E=-\nabla\varphi). Usando \rho=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}\varphi obtemos novamente a decomposição com o delta.

Passo 6

Juntando as duas contribuições (a parte contínua para r>0 e a carga pontual na origem) a densidade total de carga é
\rho(\vec r)=q\,\delta^{(3)}(\vec r)-\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi r}.
Se preferir escrever a contribuição pontual em coordenadas radiais usando \delta^{(3)}(\vec r)=\dfrac{\delta(r)}{4\pi r^{2}}, uma forma equivalente é
\rho(r)=\frac{q\,\delta(r)}{4\pi r^{2}}-\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi r}.

Resposta

\displaystyle \rho(\vec r)=q\,\delta^{(3)}(\vec r)-\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi r}
\displaystyle \text{(equivalentemente) }\quad \rho(r)=\frac{q\,\delta(r)}{4\pi r^{2}}-\frac{q b^{2} e^{-br}}{4\pi r}

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