Questão Extra 3: Considere um campo elétrico dado por
em que
é um parâmetro constante. Obtenha
(na ordem que julgar mais conveniente).
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico radial
com
constante, e pede
(a densidade de carga associada a esse campo).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- O campo é radial: só tem componente na direção
e depende só de . - O objetivo é achar a densidade de carga
que satisfaz as equações de Maxwell estáticas (lei de Gauss / equação de Poisson).
Passo 2
Relação que vou usar (uma “aula rápida”): a equação de Gauss na forma local diz que
Para um campo puramente radial
em coordenadas esféricas vale a fórmula simples
Explicando essa fórmula: a divergência mede o fluxo líquido por unidade de volume. Para simetria esférica, o fluxo através de uma esfera de raio
é
; dividir pela área
e derivar em
conduz à expressão com
. Essa é uma identidade padrão em coordenadas esféricas.
Passo 3
Identifico a componente radial
do campo dado:
Calculo
(isso simplifica bastante):
Passo 4
Agora derivo
em relação a
. Primeiro calcule a derivada da função
:
Portanto
Aplicando a fórmula da divergência:
Multiplicando por
obtemos a densidade de carga para
:
Passo 5
Comentário sobre a origem e a singularidade em
(muito importante na prova): o cálculo acima foi válido para
. O campo dado tem comportamento assintótico para
:
ou seja, próximo de
o campo se comporta como o campo de uma carga pontual
no origem. Isso indica que existe uma contribuição singular (term involving a delta) localizada em
. Uma maneira direta de ver isso é calcular o fluxo através de uma esfera pequena de raio
:
Tomando
obtemos
. Pela lei de Gauss isso implica que existe uma carga pontual
no interior (na origem). A densidade correspondente é um delta tridimensional localizado na origem, ou seja
.
Há também uma forma matemática elegante que combina as duas contribuições usando a identidade conhecida para o Yukawa:
Multiplicando por
e reorganizando resulta em
onde
é o potencial associado (note que
). Usando
obtemos novamente a decomposição com o delta.
Passo 6
Juntando as duas contribuições (a parte contínua para
e a carga pontual na origem) a densidade total de carga é
Se preferir escrever a contribuição pontual em coordenadas radiais usando
, uma forma equivalente é