Duas caixas idênticas, A e B, de massas 115 kg , estão ligadas por cabos e polias como mostrado em uma rampa de inclinação \theta. O coeficiente de atrito entre todas as superfícies é \mu=0,138. Assuma que \theta seja tal que os blocos estejam na iminência de deslizar. ( g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
(b) Calcule a tensão no cabo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Duas caixas idênticas A e B com massa m=115\\ \mathrm{kg}.
  • Coeficiente de atrito entre todas as superfícies \mu=0,138.
  • A rampa tem inclinação \theta (não foi dado o valor numérico de \theta no enunciado que chegou aqui).
  • A condição é que \theta seja tal que os blocos estejam na iminência de deslizar.
  • Constante gravitacional g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A pergunta (parte (b)) é: calcular a tensão no cabo.
Observação importante: o enunciado refere-se a um esquema “como mostrado” (cabos e polias na rampa). Essa figura é necessária porque a expressão exata da tensão depende de como os blocos estão conectados (por exemplo: estão ambos em lados opostos do topo da rampa ligados por uma polia, ou um bloco está pendurado, ou há múltiplas polias, etc.) e da direção de iminente movimento de cada bloco. A figura não foi fornecida; por isso, não é possível determinar numericamen­te uma única tensão sem essa informação ou sem o valor de \theta.

Passo 2

Por que a figura/posição é decisiva?
A tensão no cabo é definida pela força que equilibra (ou quase equilibra) as componentes do peso e as forças de atrito em cada bloco. Para escrever as equações de equilíbrio é preciso saber:
  • quais superfícies estão em contato (daí vem N e o atrito \mu N);
  • a direção em que cada bloco tende a deslizar (o sentido do atrito depende disso);
  • se a polia é única e sem atrito (normalmente assume-se sem atrito), e se o cabo é inextensível (tensão única e igual ao longo do cabo).
    Sem essa informação não há como montar corretamente as equações nem escolher os sinais certos das forças.

Passo 3

Revisão didática rápida (física que vamos usar) — como montar as equações quando a figura estiver disponível:
  • Para um bloco de massa m apoiado numa rampa inclinada de ângulo \theta:
    • O peso tem componente paralela à rampa mg\sin\theta (tende a puxar o bloco para baixo da rampa).
    • A normal vale N=mg\cos\theta (se a superfície é plana e não há aceleração perpendicular).
    • Força de atrito máxima (estática) vale \displaystyle f_{\max}=\mu N=\mu mg\cos\theta. No caso de iminência de deslizar a força de atrito tem módulo igual a \mu mg\cos\theta e direção oposta ao movimento iminente.
  • Equilíbrio (ou iminência de movimento sem aceleração) ao longo da rampa: soma das forças ao longo da direção do plano = 0. Dependendo do sentido do movimento iminente, a equação para um bloco conectado por um cabo pode ser escrita como \text{(componente do peso ao longo do plano)} \pm \text{(força de atrito)} \pm T = 0,çonde os sinais dependem de como se escolhe o sentido positivo e da direção da tensão T.

Passo 4

Escrever as equações gerais para UMA das configurações mais comuns (duas massas idênticas em lados opostos de uma polia sobre o topo da rampa).
  • Supondo que ambos os blocos estejam sobre planos inclinados de mesmo ângulo \theta em lados opostos (situação geométrica típica em muitos exercícios): cada bloco tem peso paralelo mg\sin\theta e atrito estático máxima \mu mg\cos\theta.
  • Para um bloco, se ele tende a deslizar para baixo a equação vetorial ao longo do plano (tomando para baixo como positivo) é mg\sin\theta - T - \mu mg\cos\theta = 0.Rearranjando: T = mg\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr).
  • Se, na hipótese oposta, o bloco tende a deslizar para cima (ou seja, a tensão puxa para cima e o peso puxa para baixo), a equação (tomando para cima como positivo) fica T - mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta = 0,e daí T = mg\bigl(\sin\theta + \mu\cos\theta\bigr).
Explicação dos termos:
  • m é a massa do bloco ( 115\\ \mathrm{kg}).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • \sin\theta e \cos\theta são as projeções geométricas do peso.
  • \mu mg\cos\theta é a força de atrito estático máxima, que age no sentido oposto ao movimento iminente.
Observação: as duas expressões acima aparecem porque o sinal da contribuição do atrito muda conforme o sentido iminente do movimento. A escolha correta (se usa o sinal + ou - com \mu) depende da configuração e de qual bloco tenderia a se mover para onde — informação que vem da figura ou da parte (a) do problema (normalmente nessa parte se determina o ângulo crítico).

Passo 5

Substituir os valores numéricos conhecidos para obter uma fórmula prática (ainda em função de \theta). Calculemos mg:
mg = 115\cdot 9,81 = 1128,15\\ \mathrm{N}.
Logo as duas fórmulas úteis são
T = 1128,15\bigl(\sin\theta - 0,138\cos\theta\bigr)
quando a tensão equilibra o peso menos o atrito (caso em que o bloco “tende a descer” no sentido escolhido),
e
T = 1128,15\bigl(\sin\theta + 0,138\cos\theta\bigr)
quando a tensão equilibra o peso mais o atrito (caso em que o bloco “tende a subir” no sentido escolhido).

Passo 6

Como decidir qual das duas expressões usar (em termos práticos de prova)?
  • A parte (a) do problema frequentemente pede o ângulo crítico \theta_{\text{crit}} onde a iminência de deslize muda de sentido. Com esse \theta você sabe qual bloco tende a deslizar e, portanto, qual fórmula de T usar.
  • Sem a figura ou sem o valor de \theta, não há como escolher corretamente o sinal do termo com \mu nem saber se há outras polias/segmentos do cabo que alterem a relação (por exemplo, se houver um bloco pendurado verticalmente ligado ao outro sobre a rampa, a equação muda).

Passo 7

Resumo e conclusão prática (o que você pode usar na prova):
  • Desenhe o diagrama livre para cada bloco. Identifique o sentido de movimento iminente e coloque a força de atrito apontando contrária a esse sentido com módulo \mu mg\cos\theta. Escreva a soma das forças ao longo do plano igual a zero e resolva para T.
  • Se a configuração for a que assumi em Passo 4 (dois blocos idênticos em lados opostos de uma polia), as duas expressões candidatas para T são as do Passo 5; escolha a correta usando a informação sobre o sentido do movimento iminente (que depende de \theta ou da figura).

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão porque a figura (arranjo dos cabos/polias e direções de iminente movimento) e/ou o valor de \theta não foram fornecidos.

Exercícios relacionados