Questão 6. (Extra): mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá o produto infinito
e pede para mostrar que ele vale
. O conteúdo envolve reescrever o produto de exponenciais como exponencial de soma, reconhecer uma série alternada e usar o valor conhecido
.
Passo 2
Escrevemos cada produto como exponencial de soma de expoentes. Denotando
temos
Logo o quociente dado é
Passo 3
Observamos que
pois nos termos de índice
ímpar aparece
e nos pares
. Essa soma é exatamente a série harmônica alternada, cujo valor clássico é
Passo 4
Substituindo
na exponencial do Passo 2, obtemos
Resposta
Mostra-se que o valor do produto infinito é
.