Questão 6. (Extra): mostre que
e^1 cdot e^1 / 3 cdot e^1 / 5 cdot e^1 / 7 cdot cdotse^1 / 2 cdot e^1 / 4 cdot e^1 / 6 cdot e^1 / 9 cdots=2

Passo 1

O enunciado nos dá o produto infinito
e^1cdot e^1/3cdot e^1/5cdot e^1/7cdotse^1/2cdot e^1/4cdot e^1/6cdot e^1/8cdots
e pede para mostrar que ele vale 2. O conteúdo envolve reescrever o produto de exponenciais como exponencial de soma, reconhecer uma série alternada e usar o valor conhecido
ln2=1-tfrac12+tfrac13-tfrac14+cdots.

Passo 2

Escrevemos cada produto como exponencial de soma de expoentes. Denotando
A=sumk=1^infty12k-1 e B=sumk=1^infty12k,
temos
prodk=1^inftye^1/(2k-1) =expl(Ar), prodk=1^inftye^1/(2k) =expl(Br)
Logo o quociente dado é
exp(A)exp(B) =expl(A - Br)

Passo 3

Observamos que
A-B =sumk=1^infty12k-1 -sumk=1^infty12k =sumn=1^infty(-1)^,n-1,1n,
pois nos termos de índice n ímpar aparece +1/n e nos pares -1/n. Essa soma é exatamente a série harmônica alternada, cujo valor clássico é
sumn=1^infty(-1)^,n-1,1n =ln(1+1) =ln2

Passo 4

Substituindo A-B=ln2 na exponencial do Passo 2, obtemos
expl(A-Br) =expl(ln2r) =2

Resposta

Mostra-se que o valor do produto infinito é 2.

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