11 ^ a Questão: Calcular os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x +inftylfloor 3 x(1-e^1 / x)rfloor

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
limxto+inftyllfloor 3xl(1-e^1/xr)rrfloor.
O conteúdo principal é usar a regra de l’Hôpital para encontrar
limxto+infty3x(1-e^1/x)
e depois avaliar o piso desse valor.

Passo 2

Observe que
limxto+infty3x(1-e^1/x)
é uma indeterminação do tipo inftycdot 0. Para aplicar l’Hôpital, fazemos a mudança de variável
t = 1x,
de modo que xto+infty implica tto0^+ e
3xl(1-e^1/xr) =3;1-e^tt
Agora temos um quociente que tende a tfrac00, então aplicamos l’Hôpital:
limtto0^+1-e^tt = limtto0^+ddt(1-e^t)ddt(t) = limtto0^+-e^t1 = -1
Logo
limxto+infty3x(1-e^1/x) = 3cdot(-1) = -3

Passo 3

Para saber como 3x(1-e^1/x) se aproxima de -3, usamos a expansão de Taylor de e^1/x para xtoinfty:
e^1/x = 1 + 1x + 12x^2 + Ol(1x^3r),
1 - e^1/x = -1x - 12x^2 + Ol(1x^3r),
3x(1-e^1/x) = -3 - 32x + Ol(1x^2r)
Portanto, para x grande,
-4 < 3x(1-e^1/x) < -3

Passo 4

Como para x suficientemente grande o valor está sempre entre -4 e -3, o piso vale
llfloor 3x(1-e^1/x)rrfloor = -4

Resposta

-4

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