QUESTÃO 3

Uma fabricante de balanças industriais sediada em São Luís foi contratada para fornecer plataformas de pesagem mecânicas a uma cooperativa de quebradeiras de coco-babaçu da região do Mearim (MA). As plataformas operam em entrepostos rurais sem eletricidade estável, o que descarta balanças com células de carga eletrônicas e exige o retorno mecânico do prato por mola helicoidal de compressão. Cada plataforma deverá suportar sacas de até 50 kg sem perda de linearidade. O projetista definiu que cada mola deve suportar carga axial F=500 \mathrm{~N} com deflexão de \delta=25 \mathrm{~mm}. Adotam-se diâmetro médio d_{m}=40 \mathrm{~mm}, material SAE 1065 ( G=78400 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} ), índice C=8 e extremidades esquadrejadas e esmerilhadas.
Determine o diâmetro do fio d_{a} e o número de espiras ativas n_{a}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Carga axial: F=500\\ \mathrm{N}.
    • Deflexão (curso) sob a carga: \delta=25\\ \mathrm{mm}.
    • Diâmetro médio da mola: d_{m}=40\\ \mathrm{mm}.
    • Módulo de cisalhamento do material: G=78\,400\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • Índice da mola: C=8 (definido como C=\dfrac{d_{m}}{d}, onde d é o diâmetro do fio).
    • Extremidades: esquadrejadas e esmerilhadas (isto afeta o número de espiras inativas, normalmente adiciona 2 espiras inativas).
  • O enunciado pede:
    1. Determinar o diâmetro do fio \,d_{a}.
    2. Determinar o número de espiras ativas \,n_{a}.

Passo 2

Entendimento e fórmulas básicas (aula rápida e intuitiva).
  • Índice da mola C: é a razão entre o diâmetro médio da mola d_{m} e o diâmetro do fio d:
    C=\frac{d_{m}}{d}.
    Dessa relação podemos obter o diâmetro do fio isoladamente:
    d=\frac{d_{m}}{C}.
    Explicação: o índice indica “quão largo” é o enrolamento em relação ao fio. É uma escolha de projeto que influencia rigidez e tensão.
  • Constante elástica (rigidez) da mola helicoidal de compressão (molas de fio circular):
    k=\frac{G\,d^{4}}{8\,D^{3}\,n},
    onde:
    • k é a rigidez (N/mm),
    • G é o módulo de cisalhamento (N/mm²),
    • d é o diâmetro do fio (mm),
    • D é o diâmetro médio da mola (mm) — aqui o enunciado chama de d_{m},
    • n é o número de espiras ativas (sem as espiras que estão inativas nas extremidades).
    Esta fórmula vem da solução da torção do fio quando a mola é comprimida: cada volta trabalha como uma barra submetida a torção, e a constante resulta da combinação dessas torções.
  • Relação entre carga e deflexão:
    \delta=\frac{F}{k}.
    Substituindo k e isolando n obtemos:
    n=\frac{\delta\,G\,d^{4}}{8\,D^{3}\,F}.
    Assim, se conhecemos d (pela escolha do índice) podemos calcular n.

Passo 3

Calcular o diâmetro do fio usando o índice C.
  • Usando \;d=\dfrac{d_{m}}{C}\; e os valores dados: d=\frac{40\\ \mathrm{mm}}{8} = 5\\ \mathrm{mm}.
  • Comentário prático: d=5\\ \mathrm{mm} é um valor usual de fio e será usado para calcular n_{a}.

Passo 4

Calcular o número de espiras ativas \,n_{a} com a fórmula derivada.
  • Reescrevendo a fórmula para n:
    n=\frac{\delta\,G\,d^{4}}{8\,D^{3}\,F}.
  • Substituindo os valores (usar D=d_{m}=40\\ \mathrm{mm} e d=5\\ \mathrm{mm}):
    • Primeiro calcule potências: d^{4}=5^{4}=625\\ \mathrm{mm}^{4}, \qquad D^{3}=40^{3}=64\,000\\ \mathrm{mm}^{3}.
    • Agora calcule o numerador: \delta\,G\,d^{4}=25\cdot78\,400\cdot625.Calcule passo a passo: 78\,400\cdot625=78\,400\cdot(600+25)=78\,400\cdot600+78\,400\cdot25=47\,040\,000+1\,960\,000=49\,000\,000.Então \delta\,G\,d^{4}=25\cdot49\,000\,000=1\,225\,000\,000.
    • Calcule o denominador: 8\,D^{3}\,F=8\cdot64\,000\cdot500.Primeiro 8\cdot64\,000=512\,000. Então 8\,D^{3}\,F=512\,000\cdot500=256\,000\,000.
    • Finalmente: n=\frac{1\,225\,000\,000}{256\,000\,000}=4{,}78515625\approx4{,}79.

Passo 5

Interpretação prática e observações de projeto.
  • Resultado calculado: \,n_{a}\approx4{,}79 espiras ativas. Na prática, o número de espiras ativas deve ser um número inteiro; portanto adota-se normalmente n_{a}=5 espiras ativas.
  • Como as extremidades são esquadrejadas e esmerilhadas, adicionam-se geralmente 2 espiras inativas (uma em cada extremidade) para o total de espiras: n_{\text{total}}=n_{a}+2 \quad\Rightarrow\quad n_{\text{total}}\approx5+2=7\\ \text{espiras (total)}.
  • Verificação de tensão (recomendação didática): para garantir que a mola opere na região elástica linear, deve-se checar a tensão de cisalhamento máxima usando o fator de correção de Wahl K e comparar com o limite admissível do material. A fórmula aproximada da tensão máxima é \tau_{\max} = K\cdot\frac{8 F D}{\pi d^{3}}.Onde uma expressão prática para K é K \approx \frac{4C-1}{4C-4} + \frac{0{,}615}{C}.
    • Para nosso caso, C=\dfrac{D}{d}=\dfrac{40}{5}=8. Calculando rapidamente: K \approx \frac{4\cdot8-1}{4\cdot8-4} + \frac{0{,}615}{8} =\frac{31}{28}+0{,}076875\approx1{,}184.
    • E \tau_{\max}\approx 1{,}184\cdot\frac{8\cdot500\cdot40}{\pi\cdot5^{3}}.Cálculo (resumido): 5^{3}=125. O quociente \dfrac{8\cdot500\cdot40}{\pi\cdot125}\approx407{,}4\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}. Multiplicando por 1{,}184 dá cerca de \tau_{\max}\approx482\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • Observação importante: para garantir linearidade é preciso comparar \tau_{\max} com o limite elástico (ou tensão admissível) do aço tratado a ser usado (SAE 1065) após o tratamento térmico e acabamento. Como esse valor admissível não foi fornecido no enunciado, não é possível concluir se a solicitação de “sem perda de linearidade” está atendida; entretanto a verificação acima mostra como proceder.

Resposta

d_{a}=5{,}00\\ \mathrm{mm}
n_{a}=4{,}785\approx4{,}79 (adotar n_{a}=5 espiras ativas; portanto n_{\text{total}}\approx7 espiras com 2 inativas)

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