QUESTÃO 2

A unidade de pelotização da mineradora em Carajás (\mathrm{PA}) processa minério de ferro 24 \mathrm{~h} / dia através de correias transportadoras de longa distância que se estendem por centenas de metros entre a britagem e o pátio de estocagem. Ao fim de cada linha, batentes amortecedores absorvem o impacto axial dos carros de retorno vazios, evitando o esmagamento dos tirantes da estrutura metálica do suporte. Cada batente é composto por um conjunto de molas helicoidais de compressão em aço SAE 1065 ( G=78400 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} ) com extremidades esquadrejadas e esmerilhadas: d_{a}=2,5 \mathrm{~mm}, diâmetro médio d_{m}=25 \mathrm{~mm} e n_{a}=10 espiras ativas. A engenharia de manutenção precisa caracterizar a mola para alimentar o cadastro técnico do plano de inspeção preventiva.
Determine:
a) A constante elástica k;
b) O índice de curvatura C da mola.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a constante elástica da mola k;
  • (b) determinar o índice de curvatura C da mola.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • módulo de cisalhamento do aço: G=78400\\ \mathrm{N/mm^{2}};
  • diâmetro do arame (fio): d_{a}=2{,}5\\ \mathrm{mm} (vou usar este valor como o diâmetro do fio d);
  • diâmetro médio da mola: d_{m}=25\\ \mathrm{mm} (vou usar este valor como o diâmetro médio D);
  • número de espiras ativas: n_{a}=10.
Observação sobre notação que vou usar (cada símbolo será explicado quando aparecer nas fórmulas):
  • d = diâmetro do arame (mm);
  • D = diâmetro médio da mola (mm);
  • n = número de espiras ativas (adotarei n=n_a);
  • G = módulo de cisalhamento do material (N/mm ^2);
  • k = constante elástica da mola (N/mm);
  • C = índice de curvatura, sem unidade.

Passo 2

Qual fórmula usar para a constante elástica de uma mola helicoidal de fio circular?
Pequena aula prática e intuitiva: quando se aplica uma força axial F numa mola helicoidal de arame circular, cada espira sofre torção no fio; a deflexão axial total \delta é proporcional à força F e depende da geometria da mola e do módulo de cisalhamento G. A fórmula clássica (obtida analisando a torção do fio e somando a contribuição de todas as espiras) para a deflexão axial é
\delta = \dfrac{8\,F\,n\,D^{3}}{G\,d^{4}}.
Aqui:
  • \delta é a deflexão axial (mm) quando a mola é comprimida por uma força F (N);
  • n é o número de espiras ativas;
  • D é o diâmetro médio da mola (mm);
  • d é o diâmetro do arame (mm);
  • G é o módulo de cisalhamento (N/mm ^2).
A constante elástica k é definida por k = F/\delta. Invertendo a fórmula acima obtemos a expressão direta para k:
k = \dfrac{G\,d^{4}}{8\,n\,D^{3}}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • G\,d^{4}: o d^{4} mostra que a rigidez aumenta fortemente com o diâmetro do fio (fio mais grosso = mola muito mais rígida);
  • D^{3}: rigidez diminui com o cubo do diâmetro médio da mola (molas mais largas são muito mais flexíveis);
  • 8n: quanto mais espiras ativas, mais flexível (maior n reduz k).
Vou aplicar essa fórmula com os dados fornecidos.

Passo 3

Substituir os símbolos pelos valores dados. Antes calculo os termos d^{4} e D^{3} passo a passo.
Usando d=d_{a}=2{,}5\\ \mathrm{mm}:
d^{2} = 2{,}5^{2} = 6{,}25\\ \mathrm{mm^{2}},
d^{4} = (d^{2})^{2} = 6{,}25^{2} = 39{,}0625\\ \mathrm{mm^{4}}.
Usando D=d_{m}=25\\ \mathrm{mm}:
D^{2} = 25^{2} = 625\\ \mathrm{mm^{2}},
D^{3} = 25^{3} = 15625\\ \mathrm{mm^{3}}.
Agora o numerador da fórmula:
G\,d^{4} = 78400 \times 39{,}0625 = 3\,062\,500\quad(\mathrm{unidade:}\\ N\cdot mm^{2}).
E o denominador:
8\,n\,D^{3} = 8 \times 10 \times 15625 = 1\,250\,000\quad(\mathrm{unidade:}\\ mm^{3}).

Passo 4

Calcular k usando os valores anteriores:
k = \dfrac{G\,d^{4}}{8\,n\,D^{3}} = \dfrac{3\,062\,500}{1\,250\,000} = 2{,}45\\ \mathrm{N/mm}.
Verificação de unidade: o numerador tinha dimensão N\cdot mm^{2} e o denominador mm^{3}, então a razão tem dimensão N/mm, que é correta para constante elástica em unidades N/mm. Se preferir em N/m, multiplica-se por 1000: k = 2{,}45\\ \mathrm{N/mm} = 2450\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Determinar o índice de curvatura C.
Definição: o índice de curvatura C é a razão entre o diâmetro médio da mola e o diâmetro do arame:
C = \dfrac{D}{d}.
Substituindo D=d_{m}=25\\ \mathrm{mm} e d=d_{a}=2{,}5\\ \mathrm{mm}:
C = \dfrac{25}{2{,}5} = 10.
Comentário prático: C=10 indica que a mola tem um índice de curvatura típico (nem muito pequeno, nem muito grande). Índices muito pequenos (por exemplo C<6) tendem a aumentar tensões localizadas e exigir correções na análise de resistência; índices muito grandes tornam o fio fino demais comparado ao diâmetro da hélice.

Resposta

k = 2{,}45\\ \mathrm{N/mm}
C = 10

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