Questão 7: Falso ou Verdadeiro:
( ) Sejam
. Assim,
não é um subespaço vetorial de
.
() Sejam
, e,
. Assim,
não é um subespaço vetorial de
.
( ) Sejam
() Sejam
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre subespaços de
e pede para cada uma dizer se é verdadeira ou falsa.
Afirmação (1): Seja
. A afirmação diz: “Assim,
não é um subespaço vetorial de
.”
Afirmação (2): Seja
. A afirmação diz: “Assim,
não é um subespaço vetorial de
.”
O que se pede: determinar Verdadeiro ou Falso para cada uma das duas afirmações.
Passo 2
Definição e critérios práticos (aulas rápidas que precisamos aqui).
Um subconjunto de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:
Um subconjunto
-
é não vazio (em particular, normalmente verificamos se o vetor nulo pertence a ). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Observação prática importante: uma reta em
dada por
(ou seja, que passa pela origem) costuma ser subespaço (é o span de
). Já uma reta com termo independente não nulo,
com
, não passa pela origem e por isso não é subespaço (falha já na condição 1).
Vou usar esses critérios a seguir, explicando passo a passo.
Passo 3
Análise da Afirmação (1),
.
-
Verificar se o vetor nulo está em
.
Plugandoem temos . Logo . Isso satisfaz a condição (1). -
Fechamento por soma.
Tomemos dois vetores arbitrários de: e tais que e . A soma é
Como o segundo componente é duas vezes o primeiro,
satisfaz a equação
, logo
. Portanto fechamento por soma vale.
- Fechamento por multiplicação escalar.
Tomemoscom e . Então
O segundo componente novamente é duas vezes o primeiro, logo
. Portanto fechamento por escalares vale.
Conclusão do passo:
satisfaz as três condições; logo
é um subespaço de
. Portanto a afirmação que diz "
não é um subespaço" é falsa.
Comentário extra útil (para prova): podemos ver
. Linhas que passam pela origem são spans de um vetor.
Passo 4
Análise da Afirmação (2),
.
-
Verificar se o vetor nulo está em
.
Parateríamos que , ou seja , o que é falso. Portanto . Isso já quebra a condição necessária (1) para ser subespaço. Assim não é subespaço. -
(Mostrando de outra forma, útil para entender): fechamento por multiplicação escalar falha.
Escolha um vetor em. Por exemplo tome . Então , logo . Se fosse subespaço, o escalar aplicado a deveria produzir . Mas vimos que . Contradição. Logo não é fechado por escalares.
Conclusão do passo:
não é subespaço de
. Portanto a afirmação que diz "
não é um subespaço" é verdadeira.
Passo 5
Resumo intuitivo e dica de prova rápida:
- Linhas do tipo
passam pela origem e geralmente são subespaços (verifique fechamento); elas são spans de um vetor. - Linhas do tipo
com não passam pela origem; basta checar que não pertence ou usar multiplicação por zero para falhar, e então conclui-se que não são subespaços.
Força aí — você já poderia usar rapidamente o teste do vetor nulo na prova para linhas e desistir de fazer contas longas!
Resposta
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro