Questão 7: Falso ou Verdadeiro:
( ) Sejam V=\mathbb{R}^{2}, \mathrm{e}, S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y=2 x\right\}. Assim, S não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
() Sejam V=\mathbb{R}^{2}, e, S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y=4-2 x\right\}. Assim, S não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre subespaços de V=\mathbb{R}^{2} e pede para cada uma dizer se é verdadeira ou falsa.
Afirmação (1): Seja S_{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : y=2x\}. A afirmação diz: “Assim, S_{1} não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.”
Afirmação (2): Seja S_{2}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : y=4-2x\}. A afirmação diz: “Assim, S_{2} não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.”
O que se pede: determinar Verdadeiro ou Falso para cada uma das duas afirmações.

Passo 2

Definição e critérios práticos (aulas rápidas que precisamos aqui).
Um subconjunto S de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:
  1. S é não vazio (em particular, normalmente verificamos se o vetor nulo (0,0) pertence a S).
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S.
Observação prática importante: uma reta em \mathbb{R}^{2} dada por y=mx (ou seja, que passa pela origem) costuma ser subespaço (é o span de (1,m)). Já uma reta com termo independente não nulo, y=mx+b com b\neq 0, não passa pela origem e por isso não é subespaço (falha já na condição 1).
Vou usar esses critérios a seguir, explicando passo a passo.

Passo 3

Análise da Afirmação (1), S_{1}=\{(x,y) : y=2x\}.
  1. Verificar se o vetor nulo está em S_{1}.
    Plugando x=0 em y=2x temos y=2\cdot 0=0. Logo (0,0)\in S_{1}. Isso satisfaz a condição (1).
  2. Fechamento por soma.
    Tomemos dois vetores arbitrários de S_{1}: u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}) tais que y_{1}=2x_{1} e y_{2}=2x_{2}. A soma é
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,2x_{1}+2x_{2})=(x_{1}+x_{2},\,2(x_{1}+x_{2})).
Como o segundo componente é duas vezes o primeiro, u+v satisfaz a equação y=2x, logo u+v\in S_{1}. Portanto fechamento por soma vale.
  1. Fechamento por multiplicação escalar.
    Tomemos u=(x,y)\in S_{1} com y=2x e \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u=(\lambda x,\,\lambda y)=(\lambda x,\,\lambda\cdot 2x)=(\lambda x,\,2(\lambda x)).
O segundo componente novamente é duas vezes o primeiro, logo \lambda u\in S_{1}. Portanto fechamento por escalares vale.
Conclusão do passo: S_{1} satisfaz as três condições; logo S_{1} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}. Portanto a afirmação que diz " S_{1} não é um subespaço" é falsa.
Comentário extra útil (para prova): podemos ver S_{1}=\operatorname{span}\{(1,2)\}=\{t(1,2):t\in\mathbb{R}\}. Linhas que passam pela origem são spans de um vetor.

Passo 4

Análise da Afirmação (2), S_{2}=\{(x,y) : y=4-2x\}.
  1. Verificar se o vetor nulo está em S_{2}.
    Para (0,0) teríamos que 0 = 4-2\cdot 0, ou seja 0=4, o que é falso. Portanto (0,0)\notin S_{2}. Isso já quebra a condição necessária (1) para ser subespaço. Assim S_{2} não é subespaço.
  2. (Mostrando de outra forma, útil para entender): fechamento por multiplicação escalar falha.
    Escolha um vetor em S_{2}. Por exemplo tome x=1. Então y=4-2\cdot 1=2, logo v=(1,2)\in S_{2}. Se S_{2} fosse subespaço, o escalar \lambda=0 aplicado a v deveria produzir 0\cdot v=(0,0)\in S_{2}. Mas vimos que (0,0)\notin S_{2}. Contradição. Logo não é fechado por escalares.
Conclusão do passo: S_{2} não é subespaço de \mathbb{R}^{2}. Portanto a afirmação que diz " S_{2} não é um subespaço" é verdadeira.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica de prova rápida:
  • Linhas do tipo y=mx passam pela origem e geralmente são subespaços (verifique fechamento); elas são spans de um vetor.
  • Linhas do tipo y=mx+b com b\neq 0 não passam pela origem; basta checar que (0,0) não pertence ou usar multiplicação por zero para falhar, e então conclui-se que não são subespaços.
Força aí — você já poderia usar rapidamente o teste do vetor nulo na prova para linhas e desistir de fazer contas longas!

Resposta

Falso
Verdadeiro

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