Questão 6: A solução do sistema de equações: equação 1: x+y+5 z=-1; equação 2: 2 x-3 y+8 z=7; equação 3: 3 x-4 y+13 z=8, é: (assinale a alternativa correta)
(a) (0,0,0); (b) uma reta; (c) não tem solução; (d) nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear formado por três equações e três incógnitas e pede que se escolha entre as alternativas (a)–(d). As informações fornecidas são:
Alternativas:
(a) (0,0,0); (b) uma reta; (c) não tem solução; (d) nenhuma das alternativas anteriores.
O que o enunciado pede: determinar qual das alternativas é correta para a solução do sistema.]
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Vou usar o método da eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um método elementar e direto para sistemas de 3 equações com 3 incógnitas: transforma o sistema numa forma triangular por operações elementares sobre linhas e depois resolve por substituição regressiva.
Breve aula sobre operações usadas:
Operações elementares permitidas nas linhas: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um número diferente de zero; (iii) somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Objetivo: obter zeros abaixo dos pivôs (entradas principais) para ficar com um sistema triangular superior, então resolver de baixo para cima.
Vou montar a matriz aumentada (coeficientes e termos independentes) para aplicar as operações facilmente:
Agora substituir y e z na primeira equação para encontrar x. A primeira equação é:
x + y + 5z = -1.
Substituindo y=-1 e z=-2:
x + (-1) + 5(-2) = -1 \quad\Rightarrow\quad x -1 -10 = -1 \quad\Rightarrow\quad x -11 = -1 \quad\Rightarrow\quad x = 10.
Portanto a solução encontrada é
(x,y,z) = (10,\,-1,\,-2).
Como obtivemos um único triplo (uma única solução), o sistema tem solução única (um ponto). Isso significa que não é o vetor nulo (0,0,0) (opção (a) é falsa), não é uma reta de soluções (opção (b) é falsa), e não é inconsistente (opção (c) é falsa). Logo a alternativa correta é (d).