Questão 6: A solução do sistema de equações: equação 1: x+y+5 z=-1; equação 2: 2 x-3 y+8 z=7; equação 3: 3 x-4 y+13 z=8, é: (assinale a alternativa correta)
(a) (0,0,0); (b) uma reta; (c) não tem solução; (d) nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear formado por três equações e três incógnitas e pede que se escolha entre as alternativas (a)–(d). As informações fornecidas são:
  • Equações (peguei-as do enunciado):
\begin{cases} x+y+5z=-1,\\[4pt] 2x-3y+8z=7,\\[4pt] 3x-4y+13z=8. \end{cases}
  • Alternativas:
    (a) (0,0,0); (b) uma reta; (c) não tem solução; (d) nenhuma das alternativas anteriores.
O que o enunciado pede: determinar qual das alternativas é correta para a solução do sistema.]

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
Vou usar o método da eliminação de Gauss (eliminação por linhas) porque é um método elementar e direto para sistemas de 3 equações com 3 incógnitas: transforma o sistema numa forma triangular por operações elementares sobre linhas e depois resolve por substituição regressiva.
Breve aula sobre operações usadas:
  • Operações elementares permitidas nas linhas: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um número diferente de zero; (iii) somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
  • Objetivo: obter zeros abaixo dos pivôs (entradas principais) para ficar com um sistema triangular superior, então resolver de baixo para cima.
Vou montar a matriz aumentada (coeficientes e termos independentes) para aplicar as operações facilmente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 5 & -1\\[4pt] 2 & -3 & 8 & 7\\[4pt] 3 & -4 & 13 & 8 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira etapa de eliminação (zerar os elementos da coluna 1 nas linhas 2 e 3).
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
    Cálculo elemento a elemento:
\begin{aligned} &2-2\cdot1=0,\\\ &-3-2\cdot1=-5,\\\ &8-2\cdot5=-2,\\\ &7-2\cdot(-1)=7+2=9. \end{aligned}
Então R_2 fica [0\\\ -5\\\ -2\\ |\\\ 9].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
    Cálculo:
\begin{aligned} &3-3\cdot1=0,\\\ &-4-3\cdot1=-7,\\\ &13-3\cdot5=-2,\\\ &8-3\cdot(-1)=8+3=11. \end{aligned}
Então R_3 fica [0\\\ -7\\\ -2\\ |\\\ 11].
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 5 & -1\\[4pt] 0 & -5 & -2 & 9\\[4pt] 0 & -7 & -2 & 11 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda etapa de eliminação (zerar o elemento da coluna 2 na linha 3 usando R_2 como pivô).
Queremos 0 no lugar (3,2). O elemento atual em (2,2) é -5 e em (3,2) é -7. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{7}{5}R_2,
porque -7 - \frac{7}{5}\cdot(-5)= -7 +7=0.
Calcule os outros componentes de R_3:
\begin{aligned} \text{entrada em } z:&\\\ -2 - \frac{7}{5}\cdot(-2)= -2 + \frac{14}{5}= -\frac{10}{5}+\frac{14}{5}=\frac{4}{5},\\[4pt] \text{termo independente:}&\\\ 11 - \frac{7}{5}\cdot9 = 11 - \frac{63}{5} = \frac{55}{5}-\frac{63}{5} = -\frac{8}{5}. \end{aligned}
Portanto R_3 fica [0\\\ 0\\ \tfrac{4}{5}\\ |\\\ -\tfrac{8}{5}].
A matriz triangular resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 5 & -1\\[4pt] 0 & -5 & -2 & 9\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{5} & -\tfrac{8}{5} \end{array}\right].]

Passo 5

Resolver a equação de baixo para cima (substituição regressiva).
Da terceira linha obtemos a equação para z:
\frac{4}{5}z = -\frac{8}{5}.
Isolando z:
z = \frac{-\tfrac{8}{5}}{\tfrac{4}{5}} = -2.
Substituir z na segunda linha para encontrar y. A segunda linha dá:
-5y -2z = 9.
Substituindo z=-2:
-5y -2(-2) = 9 \quad\Rightarrow\quad -5y +4 = 9 \quad\Rightarrow\quad -5y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = -1.

Passo 6

Agora substituir y e z na primeira equação para encontrar x. A primeira equação é:
x + y + 5z = -1.
Substituindo y=-1 e z=-2:
x + (-1) + 5(-2) = -1 \quad\Rightarrow\quad x -1 -10 = -1 \quad\Rightarrow\quad x -11 = -1 \quad\Rightarrow\quad x = 10.
Portanto a solução encontrada é
(x,y,z) = (10,\,-1,\,-2).
Como obtivemos um único triplo (uma única solução), o sistema tem solução única (um ponto). Isso significa que não é o vetor nulo (0,0,0) (opção (a) é falsa), não é uma reta de soluções (opção (b) é falsa), e não é inconsistente (opção (c) é falsa). Logo a alternativa correta é (d).

Resposta

(d)

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