Questão 4 - A importância da corrente de deslocamento (1,0 ponto)
Explique por que Maxwell introduziu o conceito de corrente de deslocamento e descreva:
a) A situação física em um capacitor onde a corrente de deslocamento aparece.
b) Por que essa correção era necessária para manter a lei de Ampère válida em circuitos variáveis no tempo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que vou usar. O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Descrever a situação física num capacitor onde aparece a corrente de deslocamento.
  • (b) Explicar por que a introdução da corrente de deslocamento foi necessária para manter a lei de Ampère válida em circuitos com grandezas que variam no tempo.
Informações / notações que vou usar para explicar:
  • Q(t): carga em uma das placas do capacitor, função do tempo.
  • I(t)=\dfrac{dQ}{dt}: corrente elétrica de condução que percorre o fio que alimenta o capacitor.
  • A: área das placas do capacitor (assumo placas paralelas para a explicação).
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo.
  • \mathbf{E}(\mathbf{r},t): campo elétrico entre as placas (aproximado uniforme entre placas de área A).
  • \mathbf{J}: densidade de corrente de condução (corrente real de cargas).
  • As leis relevantes que vou usar: equação da continuidade de carga \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0, a forma original de Ampère \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} (antes da correção de Maxwell) e a Lei de Gauss \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0.

Passo 2

Descrevendo fisicamente o carregamento de um capacitor (situação padrão onde aparece a corrente de deslocamento).
Imagine um capacitor de placas paralelas conectado a uma bateria por fios. Quando a bateria aplica tensão, começa a circular corrente no fio, I(t)=\dfrac{dQ}{dt}, que leva cargas para as placas: uma placa ganha carga +Q(t) e a outra -Q(t). Entre as placas surge um campo elétrico \mathbf{E} que cresce conforme Q(t) aumenta. Para placas de área A, aproximamos o campo entre as placas por
\mathbf{E}(t)=\frac{Q(t)}{\varepsilon_0 A}\,\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor perpendicular às placas. Aqui expliquei cada símbolo: Q(t) é carga, \varepsilon_0 a permissividade, A a área. Observe que no espaço entre as placas não há fluxo de cargas livres (não há corrente de condução), mas o campo elétrico muda com o tempo quando Q(t) muda.

Passo 3

Definindo a corrente de deslocamento e mostrando que ela “compensa” a falta de corrente de condução no interior do capacitor.
Maxwell propôs associar ao campo elétrico variável uma densidade de corrente chamada corrente de deslocamento, definida por
\mathbf{J}_\text{d}=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Esta é uma densidade de corrente (mesma unidade de \mathbf{J}). Agora calculemos \mathbf{J}_\text{d} entre as placas usando \mathbf{E}(t)=\dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0 A}\,\hat{\mathbf{n}}. Temos
\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{1}{\varepsilon_0 A}\frac{dQ}{dt}\,\hat{\mathbf{n}}=\frac{I(t)}{\varepsilon_0 A}\,\hat{\mathbf{n}}.
Multiplicando por \varepsilon_0,
\mathbf{J}_\text{d}=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{I(t)}{A}\,\hat{\mathbf{n}}.
A corrente de deslocamento total que atravessa a seção de área A entre as placas é
I_\text{d}=\int_A \mathbf{J}_\text{d}\cdot d\mathbf{A}=I(t).
Interpretação física (sem jargão): embora não haja elétrons viajando entre as placas, a variação do campo elétrico produz exatamente a mesma “quantidade de corrente” (no sentido de fonte do campo magnético) que a corrente no fio. Ou seja, o termo \varepsilon_0 \partial\mathbf{E}/\partial t age como uma corrente equivalente no espaço vazio entre placas.

Passo 4

Mostrando a inconsistência da forma original de Ampère com a conservação de carga (por que Maxwell precisou corrigir).
A conservação local de carga é expressa pela equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0,
onde \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga e \mathbf{J} a densidade de corrente de condução. Agora veja o problema com a forma diferencial original da Lei de Ampère:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}.
Tome a divergência dos dois lados. O lado esquerdo é sempre zero porque a divergência do rotacional é identicamente nula:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0.
Então o lado direito deveria satisfazer
\nabla\cdot(\mu_0\mathbf{J})=0 \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Mas a equação da continuidade diz que \nabla\cdot\mathbf{J}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}, que em geral é diferente de zero quando cargas estão se acumulando (por exemplo, nas placas do capacitor durante o carregamento). Logo temos uma contradição: Ampère na forma original exige \nabla\cdot\mathbf{J}=0, enquanto conservação de carga permite \nabla\cdot\mathbf{J}\neq0. Isso mostra que a Lei de Ampère, sem correção, não é consistente com circuitos variantes no tempo.

Passo 5

Como a correção de Maxwell resolve a inconsistência (derivação clara passo a passo).
Maxwell acrescentou o termo de corrente de deslocamento ao lado direito da Lei de Ampère, obtendo a forma diferencial completa:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Agora tome a divergência dos dois lados:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0=\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\nabla\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Troque a ordem de derivação espacial/temporal no segundo termo e use a Lei de Gauss \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0:
0=\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}) = \mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right).
Simplificando \varepsilon_0,
0=\mu_0\left(\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\right).
Multiplicando por 1/\mu_0 recupera-se exatamente a equação da continuidade:
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
Portanto a forma corrigida de Ampère é compatível com a conservação de carga — não há contradição. Essa é a razão matemática da necessidade do termo \varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t.

Passo 6

Explicação no formato integral (intuição geométrica: independência da superfície escolhida).
Na forma integral a Lei de Ampère original diz
\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_\text{enc},
onde I_\text{enc} é a corrente de condução que atravessa a superfície S limitada pela curva \partial S. Considere um laço que rodeia o fio alimentando o capacitor. Pode-se escolher uma superfície S_1 que corta o fio (então I_\text{enc}=I) ou outra superfície S_2 que passe entre as placas do capacitor (então I_\text{enc}=0 porque não há corrente de condução entre as placas). Com a lei original isso geraria dois lados esquerdo iguais (mesma linha \partial S) e dois valores diferentes para o lado direito — absurdo.
Maxwell corrige a lei integral acrescentando o termo de fluxo elétrico variável:
\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_\text{enc}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E(S),
onde \Phi_E(S)=\int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através de S. Para o caso do capacitor, \Phi_E(S)=Q(t)/\varepsilon_0, então
\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\Phi_E(S)=\mu_0\frac{dQ}{dt}=\mu_0 I(t).
Assim, para a superfície S_2 entre as placas o termo de fluxo dá exatamente \mu_0 I, e a soma \mu_0 I_\text{enc}+\mu_0\varepsilon_0 d\Phi_E/dt coincide com o resultado obtido para S_1. A integral de \mathbf{B} ao redor da borda é então independente da superfície escolhida — como deve ser — e a lei fica consistente.

Passo 7

Interpretação física e consequências importantes (para te animar: é elegante e poderosa).
  • Interpretação física: a corrente de deslocamento não é movimento de cargas livres (não há elétrons atravessando o vácuo entre as placas), mas é uma contribuição associada à variação do campo elétrico que gera exatamente o mesmo efeito magnético que uma corrente de condução. Em termos práticos, ela “fecha” o circuito do ponto de vista dos campos.
  • Consequência crucial: com esse termo Maxwell pôde juntar as equações de campos elétricos e magnéticos de forma consistente e, a partir delas, derivar a equação de onda para \mathbf{E} e \mathbf{B}. Assim previu que perturbações eletromagnéticas se propagam no vácuo com velocidade
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},
ligando a teoria ao fenômeno luminoso — a luz é uma onda eletromagnética. Então a correção não foi só um “conserto” técnico: abriu caminho para a unificação e predição de fenômenos fundamentais.

Resposta

(a) A corrente de deslocamento aparece no espaço entre as placas de um capacitor carregando-se: embora não haja corrente de condução entre as placas, a variação temporal do campo elétrico \mathbf{E}(t)=Q(t)/(\varepsilon_0 A) gera uma densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_\text{d}=\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t cuja corrente total atravessando a área entre placas é I_\text{d}=I(t), igual à corrente no fio.
(b) A correção foi necessária porque a forma original de Ampère \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} violava a conservação local de carga ( \partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\mathbf{J}=0) e tornava a integral de Ampère dependente da superfície escolhida em casos variáveis no tempo (como o capacitor). Ao incluir \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t (corrente de deslocamento) obtém-se uma lei consistente com a continuidade de carga e com a independência da superfície, além de permitir a predição de ondas eletromagnéticas.

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