Questão 3 - Ressonância elétrica (1,0 ponto)
Defina o que é ressonância em um circuito RLC série e descreva:
a) O que ocorre com a amplitude da corrente na frequência de ressonância.
b) O comportamento relativo das reatâncias do indutor e do capacitor nesse ponto.
c) Uma aplicação prática em engenharia que utilize ressonância.

Passo 1

O enunciado pede primeiro uma definição de ressonância em um circuito RLC série e depois três itens específicos:
a) Descrever o que ocorre com a amplitude da corrente na frequência de ressonância.
b) Descrever o comportamento relativo das reatâncias do indutor e do capacitor nesse ponto.
c) Apresentar uma aplicação prática em engenharia que utilize ressonância.
Informações implícitas que vou usar (fornecidas pelo enunciado por se tratar de um circuito RLC série):
  • Há um resistor R, um indutor L e um capacitor C ligados em série a uma fonte senoidal de frequência angular \omega e amplitude de tensão V_m.
  • A corrente que circula no circuito é a mesma por todos os elementos, pois estão em série.

Passo 2

Descrição física e variáveis do circuito (o básico antes de calcular).
  • A fonte aplicada tem tensão instantânea v(t)=V_m\cos(\omega t), onde \omega é a frequência angular (em rad/s) ligada à frequência em Hz por \omega=2\pi f.
  • O resistor tem resistência R (ohms).
  • O indutor tem indutância L (henry) e, em regime senoidal, apresenta reatância indutiva \;X_L=\omega L\; (ohms).
  • O capacitor tem capacitância C (farad) e, em regime senoidal, apresenta reatância capacitiva \;X_C=\dfrac{1}{\omega C}\; (ohms).
    Explicação curta: as reatâncias X_L e X_C medem a oposição ao fluxo de corrente que o indutor e o capacitor apresentam dependendo da frequência.

Passo 3

Impedância do circuito e fórmula da corrente (como a frequência entra na conta).
  • A impedância complexa do circuito série é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr),
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Aqui X_L=\omega L e X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
  • O módulo da impedância é
|Z| = \sqrt{R^{2} + \bigl(X_L - X_C\bigr)^{2}}.
  • A amplitude (valor de pico) da corrente é dada por
I_m = \dfrac{V_m}{|Z|}.
Comentário didático: a corrente depende da frequência \omega através de X_L e X_C. Em frequências diferentes, |Z| muda e com isso I_m muda.

Passo 4

Definição matemática de ressonância no circuito RLC série.
  • Ressonância ocorre na frequência \omega_0 que torna a parte imaginária da impedância nula, ou seja, quando
X_L - X_C = 0 \quad\Longrightarrow\quad X_L = X_C.
Substituindo X_L=\omega_0 L e X_C=\dfrac{1}{\omega_0 C} e resolvendo para \omega_0 obtém-se a frequência angular de ressonância:
\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
A frequência em hertz é
f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Interpretação simples: em \omega_0 as reatâncias do indutor e do capacitor têm mesma magnitude e se anulam mutuamente na soma, deixando apenas R.

Passo 5

O que acontece com a corrente na frequência de ressonância (resposta ao item a), com dedução passo a passo).
  • Em \omega=\omega_0 temos X_L=X_C, portanto na expressão do módulo da impedância
|Z| = \sqrt{R^{2} + (X_L - X_C)^{2}} = \sqrt{R^{2} + 0} = R.
  • Assim, a amplitude máxima da corrente é
I_{m,\text{max}} = \dfrac{V_m}{R}.
  • Em termos de valores eficazes (RMS) a mesma ideia: I_{\text{rms,max}}=V_{\text{rms}}/R.
    Explicação em palavras: como as reatâncias se cancelam, a oposição total fica só por conta de R, que normalmente é o menor termo comparado ao desbalanceamento fora da ressonância — logo a corrente atinge um máximo em \omega_0.

Passo 6

Refinamento didático: fator de qualidade Q e efeito sobre amplitude e largura do pico.
  • Define-se o fator de qualidade
Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}.
  • Relação útil: a tensão nos elementos L ou C em ressonância pode ser muito maior que a tensão da fonte. Em \omega_0,
V_L = I_m X_L = \dfrac{V_m}{R}\,\omega_0 L = V_m\,Q.
Mesmo que a corrente seja limitada por R, a queda em L (ou em C) pode ser Q vezes maior que V_m.
  • Interpretação: quanto maior Q, mais alto e mais estreito será o pico de corrente em torno de f_0. A largura de banda (em rad/s) aproximada é \Delta\omega=\dfrac{\omega_0}{Q} e em Hz \Delta f = \dfrac{f_0}{Q}. Assim, alto Q = pico mais pronunciado (seleção de frequência mais precisa).

Passo 7

Comportamento relativo das reatâncias do indutor e do capacitor em ressonância (resposta ao item b).
  • No ponto de ressonância vale \;X_L = X_C\;. As duas reatâncias têm mesma magnitude, mas uma é indutiva (posi-tiva) e a outra capacitiva (efetivamente “negativa” na soma), por isso se cancelam na impedância total.
  • Consequências: a reatância líquida X_L-X_C é zero e o circuito se comporta como uma resistência pura R. A corrente e a tensão da fonte ficam em fase (deslocamento de fase zero).
  • Observação adicional: apesar de se cancelarem na impedância total, as tensões nos dois elementos não desaparecem — elas têm mesma magnitude e fase oposta, podendo ser grandes se Q for grande.

Passo 8

Aplicação prática em engenharia (resposta ao item c) — exemplo detalhado: sintonizador de rádio.
  • Em um receptor de rádio (tuner) usa-se um circuito ressonante série ou paralelo como seletor de frequência. Ajustando L ou C muda \;f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\; para que o circuito fique em ressonância exatamente na frequência da estação desejada.
  • Como consequência prática: o circuito apresenta resposta de amplitude máxima na frequência da estação (sinal desejado passa com ganho relativo) e atenua outras frequências (se Q razoável). Assim o receptor “sintoniza” uma estação.
  • Observação prática: normalmente usa-se um capacitor variável para ajustar \;f_0 de forma simples; o projeto do Q determina se a sintonia será ampla (baixo Q) ou bem seletiva (alto Q).

Passo 9

Recapitulando de forma curta (para lembrar na prova).
  • Ressonância série: ocorre quando \;X_L=X_C\; e \;\omega_0=1/\sqrt{LC}.
  • Na ressonância: impedância mínima ( |Z|=R), corrente máxima ( I_m=V_m/R) e circuito puramente resistivo.
  • Tensões em L e C podem ser grandes ( V_L=V_C=Q\,V_{\text{fonte}}).
  • Uso prático: sintonia (rádio), filtros, osciladores e aplicações onde se quer selecionar ou amplificar uma faixa estreita de frequência.

Resposta

a) A amplitude da corrente atinge o seu valor máximo, pois em ressonância |Z|=R e I_{m,\text{max}}=\dfrac{V_m}{R}.
b) As reatâncias se igualam em magnitude e se anulam: X_L=X_C, a reatância líquida é zero e o circuito é puramente resistivo (as tensões em L e C têm mesma magnitude e fases opostas).
c) Exemplo: sintonizador de rádio — ajusta-se L ou C para que \;f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\; coincida com a frequência da estação desejada, permitindo selecionar essa frequência.

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