Questão 5: No instante t, a posição de uma partícula, inicialmente em ( X_{1}, X_{2}, X_{3} ), é dada por:
x_{1}=X_{1}+k X_{3}, \quad x_{2}=X_{2}+k X_{2}, \quad x_{3}=X_{3}, \quad k=10^{-5}
(a) Determine os componentes do tensor de deformação \boldsymbol{E}.
(b) Determine o alongamento unitário de um elemento inicialmente na direção \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação da posição de uma partícula, do referencial material (coordenadas iniciais) \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2},X_{3}) para o referencial espacial (coordenadas atuais) \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}):
x_{1}=X_{1}+k X_{3},\qquad x_{2}=X_{2}+k X_{2},\qquad x_{3}=X_{3},
com k=10^{-5}.
Perguntas:
(a) Determinar os componentes do tensor de deformação \boldsymbol{E}.
(b) Determinar o alongamento unitário de um elemento inicialmente na direção \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}.
Informações relevantes dadas: as fórmulas de x_i em função de X_j e o valor numérico de k. A resolução a seguir vai extrair o gradiente de deformação e calcular \boldsymbol{E}, depois usar \boldsymbol{E} para obter o alongamento na direção pedida.

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente de deformação (deformação gradiente) \boldsymbol{F}.
  • Conceito curto e claro: \boldsymbol{F} é a matriz com entradas \displaystyle F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}. Ela descreve localmente como um vetor material d\boldsymbol{X} é transformado em d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}.
Aplique as derivadas às expressões dadas:
\frac{\partial x_1}{\partial X_1}=1,\quad \frac{\partial x_1}{\partial X_2}=0,\quad \frac{\partial x_1}{\partial X_3}=k,
\frac{\partial x_2}{\partial X_1}=0,\quad \frac{\partial x_2}{\partial X_2}=1+k,\quad \frac{\partial x_2}{\partial X_3}=0,
\frac{\partial x_3}{\partial X_1}=0,\quad \frac{\partial x_3}{\partial X_2}=0,\quad \frac{\partial x_3}{\partial X_3}=1.
Logo a matriz \boldsymbol{F} é
\boldsymbol{F}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & k\\[4pt] 0 & 1+k & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição do tensor de Green-Lagrange \boldsymbol{E} e fórmula usada.
  • Conceito: o tensor de Green-Lagrange mede deformação finita no referencial material. Ele é definido por
\boldsymbol{E}=\tfrac{1}{2}\bigl(\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}\bigr),
onde \boldsymbol{I} é a identidade e \boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F} é o tensor de Cauchy–Green direito \boldsymbol{C}.
Vou calcular \boldsymbol{C}=\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F} explicitamente.
Primeiro escrevo \boldsymbol{F}^{T}:
\boldsymbol{F}^{T}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1+k & 0\\[4pt] k & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando \boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F} por componentes (mostro os produtos essenciais):
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{11}=1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{12}=1\cdot 0 + 0\cdot(1+k) + 0\cdot 0 = 0.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{13}=1\cdot k + 0\cdot 0 + 0\cdot 1 = k.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{21}=0.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{22}=(1+k)^2.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{23}=0.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{31}=k.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{32}=0.
  • (\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F})_{33}=k^2+1.
Portanto
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & k\\[4pt] 0 & (1+k)^2 & 0\\[4pt] k & 0 & 1+k^2 \end{pmatrix}.
Agora subtraio \boldsymbol{I} e multiplico por \tfrac{1}{2}:
\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & k\\[4pt] 0 & (1+k)^2-1 & 0\\[4pt] k & 0 & k^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & k\\[4pt] 0 & 2k+k^2 & 0\\[4pt] k & 0 & k^2 \end{pmatrix}.
Finalmente
\boldsymbol{E}=\tfrac{1}{2}\bigl(\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I}\bigr)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{k}{2}\\[6pt] 0 & k+\tfrac{k^2}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{k}{2} & 0 & \tfrac{k^2}{2} \end{pmatrix}.
Expliquei todo o cálculo das entradas; agora temos os componentes.]

Passo 4

Interpretação e método para calcular o alongamento unitário ao longo de uma direção inicial \boldsymbol{d}.
  • Teoria curta e prática: se d\boldsymbol{X} é um elemento de material no referencial inicial com comprimento dS=\lVert d\boldsymbol{X}\rVert, após deformação seu comprimento é ds=\lVert d\boldsymbol{x}\rVert com
ds^{2}=d\boldsymbol{X}^{T}\,\boldsymbol{C}\,d\boldsymbol{X}.
Se a direção inicial é a unidade \boldsymbol{n} ( \lVert\boldsymbol{n}\rVert=1), então o alongamento (razão de comprimentos) é
\lambda=\frac{ds}{dS}=\sqrt{\boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{C}\,\boldsymbol{n}}=\sqrt{1+2\,\boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n}}.
O alongamento unitário (engenharia), isto é a variação relativa de comprimento, é \lambda-1.
Vou aplicar isso com \boldsymbol{d}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Passo 5

Calcule a direção unitária inicial \boldsymbol{n} associada a \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
O vetor \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 tem norma \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Assim a direção unitária é
\boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcule \boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n}.
Usando a matriz \boldsymbol{E} encontrada,
\boldsymbol{E}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{k}{2}\\[6pt] 0 & k+\tfrac{k^2}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{k}{2} & 0 & \tfrac{k^2}{2} \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Como o terceiro componente de \boldsymbol{n} é zero, só entram as entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) de \boldsymbol{E}. Observando \,E_{11}=0 e E_{12}=E_{21}=0, fica
\boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n} = \frac{1}{2}\,E_{22} = \frac{1}{2}\Bigl(k+\frac{k^{2}}{2}\Bigr) = \frac{k}{2}+\frac{k^{2}}{4}.]

Passo 7

Calcule o alongamento unitário \lambda-1 exatamente e também um valor numérico para k=10^{-5}.
  • Exatidão: usando \lambda=\sqrt{1+2\,\boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n}},
\lambda=\sqrt{1 + \bigl(k+\tfrac{k^{2}}{2}\bigr)}=\sqrt{1 + k + \tfrac{k^{2}}{2}}.
Portanto o alongamento unitário (razão relativa de aumento de comprimento) é
\lambda-1=\sqrt{1 + k + \tfrac{k^{2}}{2}}-1.
  • Aproximação numérica: para k=10^{-5} calculemos numericamente. Primeiro
1+k+\tfrac{k^{2}}{2}=1 + 10^{-5} + \tfrac{(10^{-5})^{2}}{2}=1 + 10^{-5} + 5\times 10^{-11}=1{,}00001000005.
Então
\lambda-1=\sqrt{1{,}00001000005}-1\approx 5{,}0000125\times 10^{-6}.
(Usei a expansão \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\varepsilon/2-\varepsilon^{2}/8 para obter a precisão mostrada; o valor pode ser arredondado conforme necessidade.)
Observação prática: para deformações muito pequenas (como aqui, k\ll 1) a aproximação linear dá \lambda-1\approx \boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n}\approx \tfrac{k}{2}, ou mais precisamente \lambda-1\approx \tfrac{k}{2}+\tfrac{k^{2}}{8}. Mas acima apresentamos a expressão exata em função de k.

Resposta

(a) \boldsymbol{E}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{k}{2}\\[6pt] 0 & k+\tfrac{k^{2}}{2} & 0\\[6pt] \tfrac{k}{2} & 0 & \tfrac{k^{2}}{2} \end{pmatrix}.
(b) \lambda-1=\sqrt{1 + k + \tfrac{k^{2}}{2}}-1\approx 5{,}0000125\times 10^{-6}\quad\text{para }k=10^{-5}.]

Exercícios relacionados