(a) Determine os componentes do tensor de deformação \boldsymbol{E}.
(b) Determine o alongamento unitário de um elemento inicialmente na direção \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação da posição de uma partícula, do referencial material (coordenadas iniciais) \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2},X_{3}) para o referencial espacial (coordenadas atuais) \boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}):
Perguntas:
(a) Determinar os componentes do tensor de deformação \boldsymbol{E}.
(b) Determinar o alongamento unitário de um elemento inicialmente na direção \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}.
Informações relevantes dadas: as fórmulas de x_i em função de X_j e o valor numérico de k. A resolução a seguir vai extrair o gradiente de deformação e calcular \boldsymbol{E}, depois usar \boldsymbol{E} para obter o alongamento na direção pedida.
Passo 2
Definição e cálculo do gradiente de deformação (deformação gradiente) \boldsymbol{F}.
Conceito curto e claro: \boldsymbol{F} é a matriz com entradas \displaystyle F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}. Ela descreve localmente como um vetor material d\boldsymbol{X} é transformado em d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}.
Expliquei todo o cálculo das entradas; agora temos os componentes.]
Passo 4
Interpretação e método para calcular o alongamento unitário ao longo de uma direção inicial \boldsymbol{d}.
Teoria curta e prática: se d\boldsymbol{X} é um elemento de material no referencial inicial com comprimento dS=\lVert d\boldsymbol{X}\rVert, após deformação seu comprimento é ds=\lVert d\boldsymbol{x}\rVert com
Como o terceiro componente de \boldsymbol{n} é zero, só entram as entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) de \boldsymbol{E}. Observando \,E_{11}=0 e E_{12}=E_{21}=0, fica
(Usei a expansão \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\varepsilon/2-\varepsilon^{2}/8 para obter a precisão mostrada; o valor pode ser arredondado conforme necessidade.)
Observação prática: para deformações muito pequenas (como aqui, k\ll 1) a aproximação linear dá \lambda-1\approx \boldsymbol{n}^{T}\boldsymbol{E}\,\boldsymbol{n}\approx \tfrac{k}{2}, ou mais precisamente \lambda-1\approx \tfrac{k}{2}+\tfrac{k^{2}}{8}. Mas acima apresentamos a expressão exata em função de k.