Questão 4: Considere \boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}+X_{1} k \boldsymbol{e}_{1}, onde os elementos diferenciais materiais na configuração não deformada são dados por
d \boldsymbol{X}^{(1)}=\frac{d S_{1}}{\sqrt{2}}\left(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right), \quad d \boldsymbol{X}^{(2)}=\frac{d S_{2}}{\sqrt{2}}\left(-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right)
(a) Encontre os elementos deformados d \boldsymbol{x}^{(1)} e d \boldsymbol{x}^{(2)}.
(b) Avalie os alongamentos e a mudança no ângulo entre esses elementos materiais.
(c) Faça o item (b) para k=1 e para k=10^{-2}.
(d) Compare os resultados do item (c) com os previstos pelo tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E}.
O que se pede:
(a) encontrar os elementos deformados d\boldsymbol{x}^{(1)} e d\boldsymbol{x}^{(2)};
(b) avaliar os alongamentos (fatores de alongamento) desses elementos e a mudança no ângulo entre eles;
(c) calcular numericamente os resultados do item (b) para k=1 e para k=10^{-2};
(d) comparar os resultados do item (c) com os previstos pelo tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Mapeamento: \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}) dado por \boldsymbol{x}=(1+k)X_{1}\,\boldsymbol{e}_{1}+X_{2}\,\boldsymbol{e}_{2}+X_{3}\,\boldsymbol{e}_{3} (isso decorre diretamente da expressão dada).
Dois segmentos materiais originalmente com comprimentos dS_{1} e dS_{2} e orientações indicadas.
Devemos calcular comprimentos depois da deformação, ângulo entre os dois segmentos após a deformação, e comparar com a previsão linear (tensor \boldsymbol{E}).
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de deformação \boldsymbol{F} (essa é a matriz que transforma vetores diferenciais não deformados em deformados: d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}). Da relação \boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}+X_{1}k\boldsymbol{e}_{1} obtemos componente a componente:
Explicação didática rápida: \boldsymbol{F} diz quanto cada componente da posição atual varia quando eu mudo a coordenada material X_{j}. Aqui só x_{1} depende de X_{1}, por isso apenas o elemento \partial x_{1}/\partial X_{1}=1+k é diferente de 1.]
Passo 3
Agora aplicamos \boldsymbol{F} aos elementos diferenciais dados para obter os elementos deformados usando d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}.
Comentários didáticos: foi só multiplicar a matriz diagonal \boldsymbol{F} pelo vetor componente a componente. Note que o sinal em \boldsymbol{e}_{1} para o segundo vetor é negativo, mas o fator (1+k) aparece da mesma forma.
Passo 4
Agora vamos calcular os comprimentos originais e deformados desses segmentos e definir o alongamento (fator de alongamento).
Mudança de ângulo (tomando sinal positivo quando o ângulo aumenta):
\Delta\theta=\theta-\frac{\pi}{2}.
Observação didática: para pequenos k podemos aproximar \cos\theta\approx -k (expandindo a fração em série), e então \Delta\theta\approx k em radianos — veremos isso na comparação com o tensor de deformações infinitesimais.
Passo 6
Agora avaliamos numericamente os resultados pedidos no item (c) para k=1 e para k=10^{-2}.
Interpretação numérica rápida: para k=1 o alongamento é grande (\approx1{,}58) e a mudança de ângulo grande (\approx36{,}87^\circ). Para k=0{,}01 os efeitos são pequenos: alongamento \approx1{,}005 e mudança de ângulo \approx0{,}01 rad, consistente com uma pequena deformação.
Passo 7
Agora calculamos o tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E} (também frequentemente denotado \boldsymbol{\varepsilon}), e usamos as fórmulas lineares para prever alongamentos e alteração de ângulo; depois comparamos com os valores exatos.
O gradiente de deslocamento é \nabla\boldsymbol{u}=\displaystyle\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}} que aqui é a matriz com apenas \partial u_{1}/\partial X_{1}=k diferente de zero. Assim
Previsão linear para alongamento de um elemento de comprimento |d\boldsymbol{X}|:
Para vetor d\boldsymbol{X} pequeno a previsão linear da variação relativa do comprimento é
Portanto a previsão linear do fator de alongamento é aproximadamente
\lambda_{\text{lin}}\approx 1+\frac{k}{2}.
Compare com o valor exato \lambda=\sqrt{1+k+\tfrac{k^{2}}{2}}. Para k\ll1 a expansão em série dá \lambda\approx 1+\tfrac{k}{2}+O(k^{2}), então a previsão linear coincide ao termo de primeira ordem em k.
Previsão linear para mudança de ângulo entre dois vetores inicialmente ortogonais:
Para dois vetores d\boldsymbol{X}^{(1)} e d\boldsymbol{X}^{(2)} com \theta_{0}=\tfrac{\pi}{2}, a previsão linear para o cosseno após deformação (ou para a pequena variação de ângulo) é
Previsão linear do alongamento: \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\tfrac{0{,}01}{2}=1{,}005. Valor exato: \lambda\approx1{,}00501243. Diferença pequena (\sim 1{,}2\times10^{-5}).
Previsão linear da mudança de ângulo: \Delta\theta_{\text{lin}}\approx 0{,}01\\ \text{rad}. Valor exato: \Delta\theta\approx 0{,}00995050\\ \text{rad}. Muito próximo.
Para k=1:
Previsão linear do alongamento: \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\tfrac{1}{2}=1{,}5. Valor exato: \lambda\approx1{,}58113883. Erro notável (linear subestima).
Previsão linear da mudança de ângulo: \Delta\theta_{\text{lin}}\approx 1\\ \text{rad} (o que implica \theta_{\text{lin}}\approx 1{,}5708+1=2{,}5708 rad, coseno \approx -0{,}84 por aproximação linear—mas atenção: usar \cos\theta\approx -k com k=1 dá \cos\theta\approx -1, o que é fora da faixa de validade da aproximação linear). Valor exato: \Delta\theta\approx0{,}6435\\ \text{rad}. A previsão linear aqui é grosseiramente inadequada porque k=1 não é pequeno; o regime linear só vale para k\ll1.
Conclusão didática: o tensor \boldsymbol{E} (deformações infinitesimais) fornece uma boa aproximação quando k é pequeno (por exemplo k=10^{-2}), coincidindo no termo linear em k. Para deformações grandes (k da ordem de 1) a aproximação linear falha e é preciso usar a formulação finita (usando \boldsymbol{F}) como fizemos nos passos anteriores.]
com \theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(-\dfrac{k+\tfrac{k^{2}}{2}}{1+k+\tfrac{k^{2}}{2}}\Bigr) e mudança de ângulo \Delta\theta=\theta-\dfrac{\pi}{2}.
Alongamento aproximado \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\dfrac{k}{2} (coincide com a expansão de \lambda até ordem k).
Mudança de ângulo aproximada \Delta\theta_{\text{lin}}\approx k (rad).
Comparação numérica: para k=10^{-2} as previsões lineares estão muito próximas aos valores exatos; para k=1 as previsões lineares falham significativamente — portanto \boldsymbol{E} é válido para pequenas deformações (k\ll1) e não para deformações finitas.]