Questão 4: Considere \boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}+X_{1} k \boldsymbol{e}_{1}, onde os elementos diferenciais materiais na configuração não deformada são dados por
d \boldsymbol{X}^{(1)}=\frac{d S_{1}}{\sqrt{2}}\left(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right), \quad d \boldsymbol{X}^{(2)}=\frac{d S_{2}}{\sqrt{2}}\left(-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right)
(a) Encontre os elementos deformados d \boldsymbol{x}^{(1)} e d \boldsymbol{x}^{(2)}.
(b) Avalie os alongamentos e a mudança no ângulo entre esses elementos materiais.
(c) Faça o item (b) para k=1 e para k=10^{-2}.
(d) Compare os resultados do item (c) com os previstos pelo tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação de posição
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}+X_{1}\,k\,\boldsymbol{e}_{1},
e os dois elementos diferenciais materiais (na configuração não deformada)
d\boldsymbol{X}^{(1)}=\frac{dS_{1}}{\sqrt{2}}\bigl(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\bigr),\qquad d\boldsymbol{X}^{(2)}=\frac{dS_{2}}{\sqrt{2}}\bigl(-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\bigr).
O que se pede:
(a) encontrar os elementos deformados d\boldsymbol{x}^{(1)} e d\boldsymbol{x}^{(2)};
(b) avaliar os alongamentos (fatores de alongamento) desses elementos e a mudança no ângulo entre eles;
(c) calcular numericamente os resultados do item (b) para k=1 e para k=10^{-2};
(d) comparar os resultados do item (c) com os previstos pelo tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Mapeamento: \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}) dado por \boldsymbol{x}=(1+k)X_{1}\,\boldsymbol{e}_{1}+X_{2}\,\boldsymbol{e}_{2}+X_{3}\,\boldsymbol{e}_{3} (isso decorre diretamente da expressão dada).
  • Dois segmentos materiais originalmente com comprimentos dS_{1} e dS_{2} e orientações indicadas.
  • Devemos calcular comprimentos depois da deformação, ângulo entre os dois segmentos após a deformação, e comparar com a previsão linear (tensor \boldsymbol{E}).

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de deformação \boldsymbol{F} (essa é a matriz que transforma vetores diferenciais não deformados em deformados: d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}). Da relação \boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}+X_{1}k\boldsymbol{e}_{1} obtemos componente a componente:
x_{1}=(1+k)X_{1},\qquad x_{2}=X_{2},\qquad x_{3}=X_{3}.
Logo as derivadas parciais \partial x_{i}/\partial X_{j} dão a matriz diagonal
\boldsymbol{F}=\begin{pmatrix}1+k & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Explicação didática rápida: \boldsymbol{F} diz quanto cada componente da posição atual varia quando eu mudo a coordenada material X_{j}. Aqui só x_{1} depende de X_{1}, por isso apenas o elemento \partial x_{1}/\partial X_{1}=1+k é diferente de 1.]

Passo 3

Agora aplicamos \boldsymbol{F} aos elementos diferenciais dados para obter os elementos deformados usando d\boldsymbol{x}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}.
Calculamos d\boldsymbol{x}^{(1)}:
d\boldsymbol{x}^{(1)}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}^{(1)} =\frac{dS_{1}}{\sqrt{2}}\bigl((1+k)\boldsymbol{e}_{1}+1\cdot\boldsymbol{e}_{2}\bigr).
Calculamos d\boldsymbol{x}^{(2)}:
d\boldsymbol{x}^{(2)}=\boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{X}^{(2)} =\frac{dS_{2}}{\sqrt{2}}\bigl(-(1+k)\boldsymbol{e}_{1}+1\cdot\boldsymbol{e}_{2}\bigr).
Comentários didáticos: foi só multiplicar a matriz diagonal \boldsymbol{F} pelo vetor componente a componente. Note que o sinal em \boldsymbol{e}_{1} para o segundo vetor é negativo, mas o fator (1+k) aparece da mesma forma.

Passo 4

Agora vamos calcular os comprimentos originais e deformados desses segmentos e definir o alongamento (fator de alongamento).
Comprimentos originais:
\bigl|d\boldsymbol{X}^{(1)}\bigr|=\frac{dS_{1}}{\sqrt{2}}\sqrt{1^{2}+1^{2}}=dS_{1}, \qquad \bigl|d\boldsymbol{X}^{(2)}\bigr|=\frac{dS_{2}}{\sqrt{2}}\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=dS_{2}.
Explicação: os vetores dados têm magnitude unitária multiplicada por dS_{i}.
Comprimentos deformados:
\bigl|d\boldsymbol{x}^{(1)}\bigr| =\frac{dS_{1}}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+k)^{2}+1^{2}}, \qquad \bigl|d\boldsymbol{x}^{(2)}\bigr| =\frac{dS_{2}}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+k)^{2}+1^{2}}.
Logo ambos os segmentos têm o mesmo fator de alongamento (pois a norma depende de (1+k)^{2}+1 em ambos os casos).
Definimos o fator de alongamento \lambda como \lambda=\dfrac{|d\boldsymbol{x}|}{|d\boldsymbol{X}|}. Assim
\lambda^{(1)}=\lambda^{(2)}=\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+k)^{2}+1} =\sqrt{1+k+\frac{k^{2}}{2}}.
Pequena explicação: eu simplifiquei \dfrac{1}{2}\bigl((1+k)^{2}+1\bigr)=(1+k+\tfrac{k^{2}}{2}) e depois tirei a raiz.

Passo 5

Vamos calcular o ângulo inicial entre os dois vetores e o ângulo após a deformação, e daí obter a mudança de ângulo.
Ângulo inicial ( \theta_{0}):
\cos\theta_{0}=\frac{d\boldsymbol{X}^{(1)}\cdot d\boldsymbol{X}^{(2)}}{|d\boldsymbol{X}^{(1)}||d\boldsymbol{X}^{(2)}|}.
Calculando o produto escalar (uso os dados no enunciado):
d\boldsymbol{X}^{(1)}\cdot d\boldsymbol{X}^{(2)} =\frac{dS_{1}dS_{2}}{2}\bigl((1)(-1)+(1)(1)\bigr)=0.
Portanto \cos\theta_{0}=0 e
\theta_{0}=\frac{\pi}{2}\quad\text{(os vetores são inicialmente ortogonais).}ã
Ângulo deformado ( \theta):
Calculemos o produto escalar entre d\boldsymbol{x}^{(1)} e d\boldsymbol{x}^{(2)}:
d\boldsymbol{x}^{(1)}\cdot d\boldsymbol{x}^{(2)} =\frac{dS_{1}dS_{2}}{2}\bigl((1+k)(-(1+k))+1\cdot 1\bigr) =\frac{dS_{1}dS_{2}}{2}\bigl(1-(1+k)^{2}\bigr).
Simplificando:
d\boldsymbol{x}^{(1)}\cdot d\boldsymbol{x}^{(2)} =-\,dS_{1}dS_{2}\Bigl(k+\frac{k^{2}}{2}\Bigr).
Agora \cos\theta é esse produto dividido pelo produto dos normas:
\cos\theta =\frac{d\boldsymbol{x}^{(1)}\cdot d\boldsymbol{x}^{(2)}}{|d\boldsymbol{x}^{(1)}||d\boldsymbol{x}^{(2)}|} =\frac{-\bigl(k+\dfrac{k^{2}}{2}\bigr)}{1+k+\dfrac{k^{2}}{2}}.
Portanto o ângulo deformado \theta é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\;-\frac{k+\dfrac{k^{2}}{2}}{1+k+\dfrac{k^{2}}{2}}\right).
Mudança de ângulo (tomando sinal positivo quando o ângulo aumenta):
\Delta\theta=\theta-\frac{\pi}{2}.
Observação didática: para pequenos k podemos aproximar \cos\theta\approx -k (expandindo a fração em série), e então \Delta\theta\approx k em radianos — veremos isso na comparação com o tensor de deformações infinitesimais.

Passo 6

Agora avaliamos numericamente os resultados pedidos no item (c) para k=1 e para k=10^{-2}.
Fator de alongamento geral:
\lambda=\sqrt{1+k+\frac{k^{2}}{2}}.
  • Para k=1:
\lambda=\sqrt{1+1+\tfrac{1}{2}}=\sqrt{\tfrac{5}{2}}=\sqrt{2,5}\approx 1{,}58113883.
Cosseno do ângulo:
\cos\theta=-\frac{1+\tfrac{1}{2}}{1+1+\tfrac{1}{2}}=-\frac{1{,}5}{2{,}5}=-0{,}6.
Então
\theta=\operatorname{arccos}(-0{,}6)\approx 2{,}214297435\\ \text{rad}\approx 126{,}8699^\circ.
Mudança de ângulo:
\Delta\theta=\theta-\frac{\pi}{2}\approx 2{,}214297435-1{,}570796327\approx 0{,}643501108\\ \text{rad}\approx 36{,}8699^\circ.
  • Para k=10^{-2} (ou k=0{,}01):
\lambda=\sqrt{1+0{,}01+\tfrac{0{,}01^{2}}{2}}=\sqrt{1{,}01005}\approx 1{,}00501243.
Cosseno do ângulo:
\cos\theta=-\frac{0{,}01+\tfrac{0{,}01^{2}}{2}}{1+0{,}01+\tfrac{0{,}01^{2}}{2}} =-\frac{0{,}01005}{1{,}01005}\approx -0{,}009950495.
Então
\theta\approx\operatorname{arccos}(-0{,}009950495)\approx 1{,}58074683\\ \text{rad}\approx 90{,}5705^\circ,
e
\Delta\theta\approx 1{,}58074683-1{,}57079633\approx 0{,}00995050\\ \text{rad}\approx 0{,}5705^\circ.
Interpretação numérica rápida: para k=1 o alongamento é grande ( \approx1{,}58) e a mudança de ângulo grande ( \approx36{,}87^\circ). Para k=0{,}01 os efeitos são pequenos: alongamento \approx1{,}005 e mudança de ângulo \approx0{,}01 rad, consistente com uma pequena deformação.

Passo 7

Agora calculamos o tensor de deformações infinitesimais \boldsymbol{E} (também frequentemente denotado \boldsymbol{\varepsilon}), e usamos as fórmulas lineares para prever alongamentos e alteração de ângulo; depois comparamos com os valores exatos.
Definição e cálculo:
  • Deslocamento \boldsymbol{u}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{X}=kX_{1}\,\boldsymbol{e}_{1}.
  • O gradiente de deslocamento é \nabla\boldsymbol{u}=\displaystyle\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}} que aqui é a matriz com apenas \partial u_{1}/\partial X_{1}=k diferente de zero. Assim
\nabla\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • O tensor de deformações infinitesimais é a parte simétrica:
\boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\bigl(\nabla\boldsymbol{u}+(\nabla\boldsymbol{u})^{T}\bigr) =\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Previsão linear para alongamento de um elemento de comprimento |d\boldsymbol{X}|:
Para vetor d\boldsymbol{X} pequeno a previsão linear da variação relativa do comprimento é
\frac{|d\boldsymbol{x}|-|d\boldsymbol{X}|}{|d\boldsymbol{X}|}\approx \frac{d\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{E}\,d\boldsymbol{X}}{|d\boldsymbol{X}|^{2}}.
Aplique isso aos nossos vetores (usando d\boldsymbol{X}^{(1)} por exemplo). Calculamos
\frac{d\boldsymbol{X}^{(1)}\cdot\boldsymbol{E}\,d\boldsymbol{X}^{(1)}}{|d\boldsymbol{X}^{(1)}|^{2}} =\frac{(dS_{1}^{2}/2)\,(1,1)\begin{pmatrix}k&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}}{dS_{1}^{2}} =\frac{k}{2}.
Portanto a previsão linear do fator de alongamento é aproximadamente
\lambda_{\text{lin}}\approx 1+\frac{k}{2}.
Compare com o valor exato \lambda=\sqrt{1+k+\tfrac{k^{2}}{2}}. Para k\ll1 a expansão em série dá \lambda\approx 1+\tfrac{k}{2}+O(k^{2}), então a previsão linear coincide ao termo de primeira ordem em k.
Previsão linear para mudança de ângulo entre dois vetores inicialmente ortogonais:
Para dois vetores d\boldsymbol{X}^{(1)} e d\boldsymbol{X}^{(2)} com \theta_{0}=\tfrac{\pi}{2}, a previsão linear para o cosseno após deformação (ou para a pequena variação de ângulo) é
\cos\theta_{\text{lin}}\approx \frac{2\,d\boldsymbol{X}^{(1)}\cdot\boldsymbol{E}\,d\boldsymbol{X}^{(2)}}{|d\boldsymbol{X}^{(1)}||d\boldsymbol{X}^{(2)}|}.
(Calculou-se antes que, linearmente, a parte simétrica determina a alteração do produto escalar).
Aqui:
d\boldsymbol{X}^{(1)}\cdot\boldsymbol{E}\,d\boldsymbol{X}^{(2)} =\frac{dS_{1}dS_{2}}{2}(1,1)\begin{pmatrix}k&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} =\frac{dS_{1}dS_{2}}{2}(-k).
Logo
\cos\theta_{\text{lin}}\approx \frac{2\cdot\bigl(\tfrac{dS_{1}dS_{2}}{2}(-k)\bigr)}{dS_{1}dS_{2}}=-k.
Para pequenos \,k temos \cos\theta\approx -k e, como \theta está perto de \pi/2, isso implica
\Delta\theta_{\text{lin}}=\theta_{\text{lin}}-\frac{\pi}{2}\approx k\\ \text{(rad)}.
Comparações numéricas:
  • Para k=0{,}01:
    • Previsão linear do alongamento: \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\tfrac{0{,}01}{2}=1{,}005. Valor exato: \lambda\approx1{,}00501243. Diferença pequena ( \sim 1{,}2\times10^{-5}).
    • Previsão linear da mudança de ângulo: \Delta\theta_{\text{lin}}\approx 0{,}01\\ \text{rad}. Valor exato: \Delta\theta\approx 0{,}00995050\\ \text{rad}. Muito próximo.
  • Para k=1:
    • Previsão linear do alongamento: \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\tfrac{1}{2}=1{,}5. Valor exato: \lambda\approx1{,}58113883. Erro notável (linear subestima).
    • Previsão linear da mudança de ângulo: \Delta\theta_{\text{lin}}\approx 1\\ \text{rad} (o que implica \theta_{\text{lin}}\approx 1{,}5708+1=2{,}5708 rad, coseno \approx -0{,}84 por aproximação linear—mas atenção: usar \cos\theta\approx -k com k=1 \cos\theta\approx -1, o que é fora da faixa de validade da aproximação linear). Valor exato: \Delta\theta\approx0{,}6435\\ \text{rad}. A previsão linear aqui é grosseiramente inadequada porque k=1 não é pequeno; o regime linear só vale para k\ll1.
Conclusão didática: o tensor \boldsymbol{E} (deformações infinitesimais) fornece uma boa aproximação quando k é pequeno (por exemplo k=10^{-2}), coincidindo no termo linear em k. Para deformações grandes ( k da ordem de 1) a aproximação linear falha e é preciso usar a formulação finita (usando \boldsymbol{F}) como fizemos nos passos anteriores.]

Resposta

(a) d\boldsymbol{x}^{(1)}=\dfrac{dS_{1}}{\sqrt{2}}\bigl((1+k)\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\bigr),\quad d\boldsymbol{x}^{(2)}=\dfrac{dS_{2}}{\sqrt{2}}\bigl(-(1+k)\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\bigr).
(b) Ambos os fatores de alongamento são
\lambda=\sqrt{1+k+\frac{k^{2}}{2}},
e o cosseno do ângulo deformado é
\cos\theta=-\frac{k+\dfrac{k^{2}}{2}}{1+k+\dfrac{k^{2}}{2}},
com \theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(-\dfrac{k+\tfrac{k^{2}}{2}}{1+k+\tfrac{k^{2}}{2}}\Bigr) e mudança de ângulo \Delta\theta=\theta-\dfrac{\pi}{2}.
(c) Para k=1:
\lambda\approx 1{,}58113883,\qquad \theta\approx 2{,}214297435\\ \text{rad}\\ (\approx126{,}8699^\circ),\qquad \Delta\theta\approx 0{,}643501108\\ \text{rad}\\ (\approx36{,}8699^\circ).
Para k=10^{-2}:
\lambda\approx 1{,}00501243,\qquad \theta\approx 1{,}58074683\\ \text{rad}\\ (\approx90{,}5705^\circ),\qquad \Delta\theta\approx 0{,}00995050\\ \text{rad}\\ (\approx0{,}5705^\circ).
(d) O tensor de deformações infinitesimais é
\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}k&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Previsões lineares:
  • Alongamento aproximado \lambda_{\text{lin}}\approx 1+\dfrac{k}{2} (coincide com a expansão de \lambda até ordem k).
  • Mudança de ângulo aproximada \Delta\theta_{\text{lin}}\approx k (rad).
    Comparação numérica: para k=10^{-2} as previsões lineares estão muito próximas aos valores exatos; para k=1 as previsões lineares falham significativamente — portanto \boldsymbol{E} é válido para pequenas deformações ( k\ll1) e não para deformações finitas.]

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