onde as coordenadas materiais X_{i} designam a posição de uma partícula em t=0 e \beta é uma constante maior que zero.
(a) Determine a velocidade de uma partícula nas descrições material e espacial.
(b) Se o campo de temperatura na descrição espacial é \theta=B x_{1} t^{2}, encontre sua descrição material. Em seguida, calcule a derivada material de \theta usando ambas as descrições.
Passo 1
O enunciado dá o movimento de uma partícula através das coordenadas espaciais x_i em função das coordenadas materiais X_i e do tempo t:
(a) Determinar a velocidade da partícula nas duas descrições: material (função de X e t) e espacial (função de x e t).
(b) Dado o campo de temperatura na descrição espacial \theta = B x_{1} t^{2}, achar a descrição material \theta(X,t) e calcular a derivada material de \theta pelas duas descrições (isto é, pelo tempo seguindo a partícula e pela fórmula espacial \partial_t\theta + \mathbf{v}\cdot\nabla\theta).
As informações relevantes são exatamente as fórmulas acima para x_i e para \theta.
Passo 2
Vamos definir com clareza o que é velocidade em cada descrição (uma mini-aula curta e prática).
Velocidade na descrição material: é a taxa de variação de x_i em relação ao tempo mantendo fixas as coordenadas materiais X_i. Em símbolos, a velocidade material \mathbf{V}(X,t) tem componentes
Aplicando isso ao movimento dado: só x_1 depende de t explicitamente por meio do fator \beta t^3+1. Então derivamos x_1=X_1(\beta t^3+1) em relação a t com X_1 constante:
Para obter a velocidade na descrição espacial precisamos da velocidade como função de (x,t). Para isso invertamos a relação espaço–material (quando possível): da expressão para x_1 temos
X_1=\frac{x_1}{\beta t^3+1},
e claramente X_2=x_2,\;X_3=x_3 (essa é a informação que tirei diretamente da fórmula do enunciado). Substituímos essa expressão de X_1 na velocidade material para reescrevê‑la em termos de x e t:
Agora a temperatura: o enunciado nos dá o campo espacial
\theta(x,t)=B x_1 t^2.
A descrição material é simplesmente substituir x_1=X_1(\beta t^3+1) (peguei esse dado da relação posição-posição dada no enunciado):
\theta(X,t)=B\bigl(X_1(\beta t^3+1)\bigr)\,t^2 = B X_1(\beta t^3+1)t^2.
Se quiser expandir para visualizar potências de t:
\theta(X,t)=B X_1\bigl(\beta t^5 + t^2\bigr).
Passo 5
Vamos calcular a derivada material (também chamada derivada substancial) usando a descrição material. Mini‑aula: na descrição material a derivada material é apenas a derivada temporal mantendo X fixo:
onde \partial_t\theta é a derivada parcial de \theta(x,t) em que x é mantido fixo, e \nabla\theta é o gradiente espacial. Começamos por \theta(x,t)=B x_1 t^2.
Primeiro termo: \partial_t\theta=\partial_t(B x_1 t^2)=B x_1\cdot 2t = 2B x_1 t.
Segundo termo: o gradiente é \nabla\theta=(\partial_{x_1}\theta,\partial_{x_2}\theta,\partial_{x_3}\theta)=(B t^2,0,0). A velocidade espacial é \mathbf{v}=(v_1,0,0) com v_1=\dfrac{3\beta t^2 x_1}{\beta t^3+1} (obtido no Passo 3). O produto escalar fica
\mathbf{v}\cdot\nabla\theta = v_1\cdot B t^2 = B t^2\cdot\frac{3\beta t^2 x_1}{\beta t^3+1} = \frac{3B\beta t^4 x_1}{\beta t^3+1}.
Somando os dois termos:
\frac{D\theta}{Dt}\Big|_{\text{espacial}} = 2B x_1 t + \frac{3B\beta t^4 x_1}{\beta t^3+1} = B x_1\left(2t + \frac{3\beta t^4}{\beta t^3+1}\right).
Passo 7
Precisamos verificar (e entender por que) que as duas expressões da derivada material são equivalentes. Começando da expressão material do Passo 5,
Multiplicando por B x_1 obtemos exatamente a expressão do caso material convertido em x. Portanto as duas formas coincidem, como deve acontecer: a derivada material é única e independente da descrição escolhida.
Um lembrete prático para prova: na descrição material calcule \partial/\partial t com X fixo; na espacial use \partial_t + \mathbf{v}\cdot\nabla. Se fizer certo, ambas baterão.
Resposta
(a) Velocidade material: \displaystyle \mathbf{V}(X,t)=\bigl(3\beta t^2 X_1,\;0,\;0\bigr).
(a) Velocidade espacial: \displaystyle \mathbf{v}(x,t)=\left(\frac{3\beta t^2 x_1}{\beta t^3+1},\;0,\;0\right).
(b) Descrição material de \theta: \displaystyle \theta(X,t)=B X_1(\beta t^3+1)t^2 = B X_1\bigl(\beta t^5+t^2\bigr).
(b) Derivada material: \displaystyle \frac{D\theta}{Dt}=B X_1(5\beta t^4+2t)=B x_1\frac{5\beta t^4+2t}{\beta t^3+1}=B x_1\left(2t+\frac{3\beta t^4}{\beta t^3+1}\right).