Questão 6 - Uma junção termopar mostra uma leitura de 800^{\circ} \mathrm{C} para a temperatura do ar quente dentro de um forno cujas paredes são mantidas na temperatura de 850^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que a emissividade da junção termopar é 0,4 e que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, determine a temperatura real do ar.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar TUDO que importa, sem começar a resolver ainda):
  • Temperatura indicada pela junção termopar (temperatura da junção medida): T_j=800^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura das paredes do forno: T_w=850^{\circ}\mathrm{C}.
  • Emissividade da junção: \varepsilon=0,4.
  • Coeficiente convectivo entre ar e junção: h=20\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Constante de Stefan–Boltzmann (usar para radiação): \sigma=5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.
O que se pede:
  • Determinar a temperatura real do ar dentro do forno (ou seja, T_{\text{ar}}), sabendo que a junção está em regime estacionário e que a leitura de 800^{\circ}\mathrm{C} é a temperatura da junção T_j.

Passo 2

Entender fisicamente o problema (aula rápida e prática, sem enrolar):
  • A junção troca calor por convecção com o ar ao seu redor. A taxa de calor por unidade de área por convecção é dada por
q_{\text{conv}}=h\bigl(T_{\text{ar}}-T_j\bigr),
onde:
  • q_{\text{conv}} tem unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
  • h é o coeficiente convectivo,
  • T_{\text{ar}} e T_j são temperaturas (em Kelvin ou Celsius desde que se use diferença; para radiação precisamos Kelvin).
  • A junção também troca calor por radiação com as paredes do forno. Para uma pequena superfície rodeada por paredes a temperatura T_w e com emissividade \varepsilon, a taxa radiativa líquida por unidade de área (potência líquida absorvida pela junção) é, pela lei de Stefan–Boltzmann:
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_w^4-T_j^4\bigr).
Aqui é imprescindível usar temperaturas em Kelvin dentro das potências quarta.
  • Em regime estacionário (junção com temperatura constante), a soma das potências por unidade de área que entram e saem deve ser zero:
q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}=0.
Isso significa: calor convectivo vindo do ar + calor radiativo vindo (ou indo) das paredes somam zero para a junção não acumular energia.

Passo 3

Colocar tudo em símbolos e isolar a incógnita. Primeiro escrever as fórmulas juntas e mostrar o que cada símbolo significa:
  • Equação de equilíbrio:
h\bigl(T_{\text{ar}}-T_j\bigr)+\varepsilon\,\sigma\bigl(T_w^4-T_j^4\bigr)=0.
  • Queremos isolar T_{\text{ar}}. Rearranjando:
T_{\text{ar}}-T_j=-\frac{\varepsilon\,\sigma}{h}\bigl(T_w^4-T_j^4\bigr).
Portanto:
T_{\text{ar}}=T_j-\frac{\varepsilon\,\sigma}{h}\bigl(T_w^4-T_j^4\bigr).
Observação importante: na parte de radiação as potências quarta exigem as temperaturas em Kelvin. Assim convertemos agora.

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin (explico por quê: radiação usa T^4 em Kelvin):
  • Converter T_j e T_w:
T_j=800^{\circ}\mathrm{C}=800+273,15=1073,15\\ \mathrm{K},
T_w=850^{\circ}\mathrm{C}=850+273,15=1123,15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular as potências quarta passo a passo (vou fazer as contas detalhadas para você poder reproduzir à mão com uma calculadora simples):
  • Primeiro calcular T_j^2 e T_w^2 (ajuda a fazer T^4):
T_j^2=(1073,15)^2\approx1\,151\,651\\ \mathrm{K}^2,
T_w^2=(1123,15)^2\approx1\,260\,466\\ \mathrm{K}^2.
  • Agora as quartas potências:
T_j^4=(T_j^2)^2\approx(1{,}151\,651)^2\approx1{,}326\,303\times10^{12}\\ \mathrm{K}^4,
T_w^4=(T_w^2)^2\approx(1{,}260\,466)^2\approx1{,}588\,776\times10^{12}\\ \mathrm{K}^4.
  • Diferença das quartas:
T_w^4-T_j^4\approx1{,}588\,776\times10^{12}-1{,}326\,303\times10^{12} \approx2{,}624\,73\times10^{11}\\ \mathrm{K}^4.
(Usei aproximações com 6 dígitos significativos; dá para seguir com calculadora de bolso.)

Passo 6

Calcular o termo radiativo e a contribuição à diferença de temperatura:
  • Primeiro compute \varepsilon\,\sigma:
\varepsilon\,\sigma=0,4\times5{,}670374419\times10^{-8}\approx2{,}2681498\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.
  • Potência radiativa líquida por unidade de área:
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_w^4-T_j^4\bigr) \approx2{,}2681498\times10^{-8}\times2{,}624\,73\times10^{11}.
Fazendo a multiplicação:
q_{\text{rad}}\approx5{,}952{,}93\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\times10^{0} \approx5{,}952{,}93\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Agora a contribuição para a diferença de temperatura (dividindo por h):
\frac{q_{\text{rad}}}{h}\approx\frac{5{,}952{,}93}{20}\approx297{,}65\\ \mathrm{K}.
Isto significa, pela equação do equilíbrio,
T_{\text{ar}}-T_j=-\frac{q_{\text{rad}}}{h}\approx-297{,}65\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Obter T_{\text{ar}} em Kelvin e converter para Celsius:
  • Em Kelvin:
T_{\text{ar}}=T_j-297{,}65\approx1073{,}15-297{,}65\approx775{,}50\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius:
T_{\text{ar}}=775{,}50-273{,}15\approx502{,}35^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais já é fino; para prova normalmente basta uma casa decimal ou inteiro), temos T_{\text{ar}}\approx502{,}4^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida e motivadora (sem enrolar): a junção foi aquecida por radiação intensa das paredes a 850^{\circ}\mathrm{C}, por isso a leitura de 800^{\circ}\mathrm{C} está bem acima da temperatura real do ar. O balanço convectivo compensa a potência radiativa, resultando no ar a cerca de 502^{\circ}\mathrm{C}. Ótimo — você viu como montar o balanço energia, usar Stefan–Boltzmann e converter unidades; isso cai direto em prova.

Resposta

502{,}4^{\circ}\mathrm{C}

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