Questão 7 - Um coletor solar de placa plana é colocado horizontalemente em um telhado. Para determinar sua eficiência, é necessário calcular a perda de calor para o ambiente a partir da superfície. O coletor é uma placa de 100 cm de largura . Sua temperatura superficial é de 60^{\circ} \mathrm{C}. Se um vento à 20^{\circ} \mathrm{C} estiver soprando sobre o coletor a uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule as quantidades a seguir em x=x_{c}.
a) Espessura da camada limite fluidodinâmica.
b) Espessura da camada limite térmica.
c) Taxa de tranferência de calor.
Propriedades do ar a 40^{\circ} \mathrm{C}: \rho=1,091 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; c_{p}=0,241 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mu=1,91 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=0,71 e k=0,0234 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede que, num coletor plano (placa) colocado horizontalmente e exposto a vento, se calcule as quantidades solicitadas no ponto x=x_c (o ponto de transição laminar→turbulento). Os dados fornecidos são (peguei todos do enunciado):
  • Dimensão da placa (largura): 1{,}00\\ \text{m} (ou 100\\ \text{cm}).
  • Temperatura superficial da placa: T_s=60^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar livre: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do vento (velocidade livre): U_\infty=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Propriedades do ar avaliadas em 40^\circ\mathrm{C} (fornecidas):
    • Densidade: \rho=1{,}091\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico: c_p=0{,}241\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot{}^\circ C)}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}91\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=0{,}71.
    • Condutividade térmica: k=0{,}0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot{}^\circ C)}.
O enunciado pergunta explicitamente:
a) Espessura da camada limite fluidodinâmica (hidrodinâmica) em x=x_c.
b) Espessura da camada limite térmica em x=x_c.
c) Taxa de transferência de calor (valor convectivo) em x=x_c.
Observação que vou usar sem perguntar: o ponto x_c é o ponto de transição onde o número de Reynolds local atinge o valor crítico típico \mathrm{Re}_{x,c}\approx 5\times10^{5}. Vou calcular x_c a partir dessa definição e então avaliar as grandezas locais em x=x_c.

Passo 2

Converter e calcular grandezas necessárias e x_c.
Definições importantes (explicando o que cada símbolo significa):
  • Número de Reynolds local: \mathrm{Re}_x=\dfrac{U_\infty x}{\nu}, onde \nu=\dfrac{\mu}{\rho} é a viscosidade cinemática (m^2/s), U_\infty é a velocidade livre (m/s) e x é a distância desde a borda frontal (m).
  • O ponto de transição x_c satisfaz \mathrm{Re}_{x_c}=\mathrm{Re}_{x,cr}. Adotamos \mathrm{Re}_{x,cr}=5\times10^{5} (valor padrão usado em problemas de escoamento sobre placa lisa).
Calcule \nu:
\nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{1{,}91\times10^{-5}}{1{,}091}=1{,}75068\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Calcule x_c a partir de \mathrm{Re}_{x_c} = 5\times10^{5}:
x_c=\dfrac{\mathrm{Re}_{x_c}\,\nu}{U_\infty} =\dfrac{5\times10^{5}\times 1{,}75068\times10^{-5}}{5{,}0} =1{,}75068\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: x_c\approx1{,}75\\ \mathrm{m}, que é maior que a largura/ dimensão da placa fornecida ( 1{,}00\\ \mathrm{m}). Isso significa que, para essa velocidade, a camada limite permaneceria laminar sobre toda a placa de 1{,}00\\ \mathrm{m}; porém o enunciado pede as quantidades em x=x_c — portanto os valores locais serão calculados em x=1{,}75068\\ \mathrm{m} (valor teórico de transição).

Passo 3

Espessura da camada limite hidrodinâmica (laminar) — teoria e fórmula.
Teoria curta e intuitiva: para escoamento laminar sobre uma placa plana sem pressão externa, a solução de Blasius dá uma ordem de grandeza da espessura da camada limite escalar com x e \mathrm{Re}_x. Uma forma prática usada é:
\delta(x)\approx \dfrac{5\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Aqui \delta(x) é a espessura da camada limite hidrodinâmica no ponto x (m) e \mathrm{Re}_x é o Reynolds local.
Aplicando em x=x_c (onde \mathrm{Re}_x=\mathrm{Re}_{x,c}=5\times10^{5} e x=x_c):
\delta(x_c)=\dfrac{5\,x_c}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x_c}}} =\dfrac{5\times 1{,}75068}{\sqrt{5\times10^{5}}}.
Calcule \sqrt{5\times10^{5}}=\sqrt{5}\times10^{2.5}\approx 707{,}10678.
Logo
\delta(x_c)=\dfrac{8{,}7534}{707{,}10678}=0{,}012385\\ \mathrm{m}=1{,}2385\\ \text{cm}.
Interpretação: a camada limite hidrodinâmica naquele ponto teria cerca de 1{,}24\\ \text{cm} de espessura (valores arredondados conforme abaixo).

Passo 4

Espessura da camada limite térmica — teoria e cálculo.
Teoria: para escoamento laminar sobre placa com temperatura de superfície constante, a espessura da camada térmica \delta_t relaciona-se com a espessura hidrodinâmica \delta via dependência de \mathrm{Pr} (número de Prandtl). Para \mathrm{Pr} na faixa de interesse (próximo de 0,7), a relação prática é
\delta_t \approx \dfrac{\delta}{\mathrm{Pr}^{1/3}}.
Aqui \mathrm{Pr}^{1/3} representa a influência da difusão térmica relativa à difusão de quantidade de movimento.
Usando \mathrm{Pr}=0{,}71, calcule \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}71^{1/3}\approx 0{,}8922.
Portanto
\delta_t(x_c)=\dfrac{0{,}012385}{0{,}8922}=0{,}013879\\ \mathrm{m}=1{,}3879\\ \text{cm}.
Comentário: quando \mathrm{Pr}<1 (como aqui), a camada térmica é ligeiramente mais espessa que a camada hidrodinâmica, como vemos.

Passo 5

Taxa local de transferência de calor convectivo (explicação das fórmulas e cálculo).
Queremos a taxa local de transferência de calor por convecção na posição x_c. Duas grandezas úteis:
  • O número de Nusselt local para placa laminar com temperatura de superfície constante é
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Essa correlação vem da solução de convecção forçada laminar sobre placa plana (condição de temperatura constante na superfície). Aqui \mathrm{Nu}_x=\dfrac{h_x\,x}{k}, onde h_x é o coeficiente de transferência de calor local (W/m^2·K) e k é a condutividade térmica do fluido (W/m·K).
  • Reescrevendo:
h_x = \dfrac{k\,\mathrm{Nu}_x}{x}.
Primeiro calcule \mathrm{Nu}_{x_c}. Já temos \sqrt{\mathrm{Re}_{x_c}}=707{,}10678 e \mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}8922:
\mathrm{Nu}_{x_c}=0{,}332\times 707{,}10678\times 0{,}8922\approx 209{,}30.
Converter k para unidades SI (W/m·K). Dado k=0{,}0234\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot {}^\circ C)}. Fator de conversão: 1\\ \mathrm{kcal/h}=4184/3600\\ \mathrm{W}=1{,}162222\\ \mathrm{W}. Assim
k_{\text{SI}}=0{,}0234\times 1{,}162222=0{,}02720\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).
Agora calcule h_{x_c}:
h_{x_c}=\dfrac{k_{\text{SI}}\,\mathrm{Nu}_{x_c}}{x_c} =\dfrac{0{,}02720\times 209{,}30}{1{,}75068} \approx 3{,}25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(Se preferir unidades originais em \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}, temos h_{x_c}\approx 2{,}80\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot{}^\circ C)}.)
Finalmente, a taxa de calor convectiva local por unidade de área (fluxo convectivo) é
\dot q''(x_c) = h_{x_c}\,(T_s-T_\infty).
Aqui T_s-T_\infty=60-20=40\\ ^\circ\mathrm{C}. Então
\dot q''(x_c)=3{,}25\times 40 =130{,}1\\ \mathrm{W/m^2}.
Se quiser a taxa de calor por metro de largura da placa e por uma unidade de comprimento longitudinal de 1\\ \mathrm{m} (ou seja, a potência num elemento 1\\ \mathrm{m}\times 1\\ \mathrm{m}), basta multiplicar por 1\\ \mathrm{m^2}: 130{,}1\\ \mathrm{W} por 1\\ \mathrm{m^2}. Como a largura dada é 1{,}00\\ \mathrm{m}, o calor convectivo sobre uma área de 1{,}00\\ \mathrm{m}\times 1{,}00\\ \mathrm{m} seria 130{,}1\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) \delta(x_c)=0{,}01239\\ \mathrm{m}
b) \delta_t(x_c)=0{,}01388\\ \mathrm{m}
c) h(x_c)=3{,}25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e \dot q''(x_c)=130{,}1\\ \mathrm{W/m^2}

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