Questão 5) O lançamento oblíquo corresponde a uma parábola. Isole o tempo na equação [1] e substitua na equação [3], prove que o comportamento da altura y em função do deslocamento horizontal x, pode ser expresso pela equação da parábola

Passo 1

O enunciado pede para isolar o tempo na equação [1] e substituir na equação [3], e prová‑lo de forma que a altura y em função do deslocamento horizontal x seja dada por uma parábola.
As informações que vamos usar (formas usuais dadas pelo enunciado implícito) são:
\text{[1]}\quad x = v_{0}\cos\theta\;t
\text{[3]}\quad y = v_{0}\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}
Onde explicitamente: x é o deslocamento horizontal, y é a altura vertical, v_{0} é a velocidade inicial, \theta é o ângulo de lançamento em relação à horizontal, t é o tempo e g é a aceleração da gravidade (tomada positiva, por exemplo g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2).
No Passo 2 começamos a isolar t em [1]; no Passo 3 substituímos em [3] e simplificamos algebricamente até obtermos uma função quadrática em x.

Passo 2

Isolar t na equação [1]. Partimos de
x = v_{0}\cos\theta\;t.
Para isolar t dividimos ambos os lados por v_{0}\cos\theta (isso é legal desde que \cos\theta\neq 0, ou seja, não consideramos o lançamento vertical puro \theta=90^\circ):
t=\frac{x}{v_{0}\cos\theta}.
Aqui foi só álgebra básica: dividir por um número não-nulo para deixar t sozinho. Essa expressão nos dá o tempo necessário para que o projétil percorra horizontalmente a distância x.

Passo 3

Reescrever a equação [3] (altura em função do tempo) para ter claro o que vamos substituir:
y = v_{0}\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Interpretação física rápida: o primeiro termo v_{0}\sin\theta\;t é a contribuição da velocidade inicial na vertical (velocidade vertical inicial multiplicada pelo tempo), e o segundo \tfrac{1}{2}g\,t^{2} é a perda de altura causada pela aceleração da gravidade (nota o sinal negativo).

Passo 4

Substituir t=\dfrac{x}{v_{0}\cos\theta} em [3]. Primeiro transformamos cada termo separadamente para ficar claro.
Termo linear em t:
v_{0}\sin\theta\;t = v_{0}\sin\theta\left(\frac{x}{v_{0}\cos\theta}\right)
Os v_{0} cancelam:
v_{0}\sin\theta\;t = x\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = x\tan\theta.
Termo quadrático em t:
\tfrac{1}{2}g\,t^{2} = \tfrac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0}\cos\theta}\right)^{2} = \tfrac{1}{2}g\cdot\frac{x^{2}}{v_{0}^{2}\cos^{2}\theta} = \frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Agora voltamos para y:
y = x\tan\theta \;-\; \frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}.
Colocando em destaque:
\boxed{\,y = x\tan\theta - \dfrac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\,}

Passo 5

Mostrar que a expressão encontrada é uma parábola (função quadrática em x). A forma geral de uma parábola vertical é
y = a x^{2} + b x + c,
com a, b, c constantes. Na nossa expressão temos c=0 e podemos identificar
a = -\frac{g}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},\qquad b=\tan\theta.
Como g>0 e o denominador 2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta>0 (para \cos\theta\neq0), segue que a<0. Portanto a parábola abre para baixo — isto corresponde ao fato físico: o projétil sobe até um ponto máximo e depois desce.

Passo 6

Complemento didático — características importantes da parábola (para usar na prova):
  • O coeficiente linear \tan\theta controla a inclinação inicial do trajeto perto de x=0.
  • O coeficiente quadrático negativo determina a curvatura (quanto mais negativo, mais “fechada” a parábola).
  • Coordenada horizontal do vértice (posição do alcance máximo em x onde y é máximo) pode ser obtida por -\dfrac{b}{2a}. Calculando:
x_{\text{vértice}} = -\frac{\tan\theta}{2\left(-\dfrac{g}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}\right)} = \frac{v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g} = \frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{2g}.é
Isso coincide com o resultado físico conhecido (posição horizontal do pico).
  • Altura máxima (valor de y no vértice) é
y_{\max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g},
que também é um resultado clássico (pode ser obtido substituindo o tempo de subida t=\dfrac{v_{0}\sin\theta}{g} ou substituindo x_{\text{vértice}}é na expressão da parábola).

Passo 7

Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
  1. Isola t em x=v_{0}\cos\theta\,t dando t=\dfrac{x}{v_{0}\cos\theta}.
  2. Substitui em y=v_{0}\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
  3. Simplifica termo a termo para obter a função quadrática em x. Pronto — você mostrou que o caminho é uma parábola e pode extrair vértice, concavidade e outros parâmetros diretamente dos coeficientes.

Resposta

y = x\tan\theta - \dfrac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\cos^{2}\theta}

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