Questão 5) O lançamento oblíquo corresponde a uma parábola. Isole o tempo na equação [1] e substitua na equação [3], prove que o comportamento da altura y em função do deslocamento horizontal x, pode ser expresso pela equação da parábola
Passo 1
O enunciado pede para isolar o tempo na equação
e substituir na equação
, e prová‑lo de forma que a altura
em função do deslocamento horizontal
seja dada por uma parábola.
As informações que vamos usar (formas usuais dadas pelo enunciado implícito) são:
As informações que vamos usar (formas usuais dadas pelo enunciado implícito) são:
Onde explicitamente:
é o deslocamento horizontal,
é a altura vertical,
é a velocidade inicial,
é o ângulo de lançamento em relação à horizontal,
é o tempo e
é a aceleração da gravidade (tomada positiva, por exemplo
).
No Passo 2 começamos a isolar em
; no Passo 3 substituímos em
e simplificamos algebricamente até obtermos uma função quadrática em
.
No Passo 2 começamos a isolar
Passo 2
Isolar
na equação
. Partimos de
Para isolar
dividimos ambos os lados por
(isso é legal desde que
, ou seja, não consideramos o lançamento vertical puro
):
Aqui foi só álgebra básica: dividir por um número não-nulo para deixar
sozinho. Essa expressão nos dá o tempo necessário para que o projétil percorra horizontalmente a distância
.
Passo 3
Reescrever a equação
(altura em função do tempo) para ter claro o que vamos substituir:
Interpretação física rápida: o primeiro termo
é a contribuição da velocidade inicial na vertical (velocidade vertical inicial multiplicada pelo tempo), e o segundo
é a perda de altura causada pela aceleração da gravidade (nota o sinal negativo).
Passo 4
Substituir
em
. Primeiro transformamos cada termo separadamente para ficar claro.
Termo linear em
:
Os
cancelam:
Termo quadrático em
:
Agora voltamos para
:
Colocando em destaque:
Passo 5
Mostrar que a expressão encontrada é uma parábola (função quadrática em
). A forma geral de uma parábola vertical é
com
,
,
constantes. Na nossa expressão temos
e podemos identificar
Como
e o denominador
(para
), segue que
. Portanto a parábola abre para baixo — isto corresponde ao fato físico: o projétil sobe até um ponto máximo e depois desce.
Passo 6
Complemento didático — características importantes da parábola (para usar na prova):
- O coeficiente linear
controla a inclinação inicial do trajeto perto de . - O coeficiente quadrático negativo determina a curvatura (quanto mais negativo, mais “fechada” a parábola).
- Coordenada horizontal do vértice (posição do alcance máximo em
onde é máximo) pode ser obtida por . Calculando:
Isso coincide com o resultado físico conhecido (posição horizontal do pico).
- Altura máxima (valor de
no vértice) é
que também é um resultado clássico (pode ser obtido substituindo o tempo de subida
ou substituindo
na expressão da parábola).
Passo 7
Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
- Isola
em dando . - Substitui em
. - Simplifica termo a termo para obter a função quadrática em
. Pronto — você mostrou que o caminho é uma parábola e pode extrair vértice, concavidade e outros parâmetros diretamente dos coeficientes.