Questão 2) (a) O que caracteriza os ângulos equivalentes no caso do lançamento de um projétil? (b) Para qual ângulo obtêm-se o maior deslocamento? Por que? (c) Por que não é necessário fazer os experimentos para ângulos inferiores a
? Qual seria a diferença do movimento do projétil se os valores tomados de ângulos de disparos fossem
e
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Identificar o que caracteriza os ângulos equivalentes no lançamento de um projétil.
- (b) Determinar para qual ângulo obtém‑se o maior deslocamento (alcance) e explicar o porquê.
- (c) Explicar por que não é necessário fazer experimentos para ângulos inferiores a
e descrever qual seria a diferença no movimento do projétil se os ângulos de disparo fossem e .
Informações/hipóteses que vou usar (assuma que o enunciado está no caso padrão): lançamento com velocidade inicial igual para todos os disparos, terreno plano (o projétil retorna à mesma altura da decolagem), aceleração da gravidade
constante e ausência de resistência do ar. Estas hipóteses são as usuais para estudar o alcance de um projétil.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial e entender os componentes (isso é fundamental).
- Seja
a velocidade inicial e o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal. - Definições trigonométricas (num triângulo retângulo): o cosseno dá a razão entre a projeção horizontal e a hipotenusa, o seno dá a razão entre a projeção vertical e a hipotenusa. Assim:
Explicação didática: o movimento horizontal usa
(não há aceleração horizontal neste modelo), e o movimento vertical é influenciado por
(queda/elevação).
Passo 3
Calcular o tempo de voo
(tempo até o projétil voltar à mesma altura).
- A posição vertical como função do tempo é
- O projétil parte de
e retorna a . Logo, para satisfazemos
- A solução não nula é
Interpretação: quanto maior a componente vertical
, mais tempo o projétil fica no ar.
Passo 4
Calcular o alcance horizontal
(deslocamento horizontal total).
- O movimento horizontal é uniforme com velocidade
, então
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Esta fórmula é central: o alcance depende de
multiplicado por
. Tudo o que varia com
está dentro de
.
Passo 5
Resposta à parte (a) — o que caracteriza ângulos equivalentes.
- Dois ângulos
e são equivalentes quando produzem o mesmo alcance . Pela fórmula do alcance, isso acontece se e somente se
- Uma igualdade útil da trigonometria é
. Aplicando com vemos que
- Portanto, cada ângulo
tem um ângulo equivalente que dá o mesmo alcance. Exemplo: e são equivalentes em alcance (desde que seja o mesmo).
Passo 6
Resposta à parte (b) — para qual ângulo obtém‑se o maior deslocamento e por quê.
- Como
, e sabemos que a função atinge seu máximo igual a , - o alcance
é máximo quando , isto é quando
- Intuição física:
equilibra da melhor forma a componente horizontal (responsável por cobrir distância) e a componente vertical (responsável por tempo de voo). Nem muito “rente” (pouco tempo de voo), nem muito “vertical” (pouca componente horizontal) — o meio termo dá máximo alcance. - (Se quiser ver por derivada:
, zera em e dá máximo.)
Passo 7
Resposta à parte (c) — por que não é necessário fazer experimentos para ângulos inferiores a
.
- Pelo que vimos, cada ângulo
tem um ângulo complementar que produz exatamente o mesmo alcance . Assim, medindo os alcances para ângulos já obtemos os alcances correspondentes para os ângulos menores através da simetria. Por isso não é necessário repetir experimentos para os ângulos menores quando se conhece os equivalentes maiores. - Agora, diferença no movimento para os ângulos específicos
. - Use as fórmulas:
onde é a altura máxima. - Vamos comparar numericamente (valores aproximados das funções trigonométricas usados apenas para comparação; não é preciso calculadora para entender a ordem):
- Para
: Assim é cerca de vezes ; é cerca de vezes ; é proporcional a vezes . - Para
: Assim é cerca de vezes ; é vezes ; é proporcional a vezes . - Para
: Assim é cerca de vezes ; é vezes ; é proporcional a vezes . - Para
: Assim é vez (o máximo); é vezes ; é proporcional a vezes .
- Para
- Use as fórmulas:
- Interpretação das diferenças:
- Os alcances crescem conforme
aumenta de a : entre os ângulos dados, dá o maior alcance (100% do máximo) e dá o menor (≈86,6% do máximo). - O tempo de voo e a altura máxima também aumentam com
nesses valores: ângulos maiores deixam o projétil mais tempo no ar e alcançam maior altura. - Mesmo que dois ângulos diferentes possam produzir o mesmo alcance (por exemplo
e ), suas trajetórias diferem: o ângulo maior (60°) teria maior altura máxima e maior tempo de voo que o de 30°, mas o mesmo alcance horizontal.
- Os alcances crescem conforme
Resposta
(a) Dois ângulos são equivalentes quando produzem o mesmo alcance, isto é quando
; em particular
e
são equivalentes (ex.:
e
).\n
(b) O maior deslocamento ocorre em , porque
e
atinge seu máximo
em
.\n
(c) Não é necessário fazer experimentos para ângulos porque cada um tem um equivalente
com o mesmo alcance; para
os alcances relativos (proporcionais a
) são aproximadamente
respectivamente, enquanto tempo de voo e altura máxima aumentam com
nesses valores (por exemplo
dá aproximadamente
em unidades de
para os mesmos ângulos).
(b) O maior deslocamento ocorre em
(c) Não é necessário fazer experimentos para ângulos