Questão 2) (a) O que caracteriza os ângulos equivalentes no caso do lançamento de um projétil? (b) Para qual ângulo obtêm-se o maior deslocamento? Por que? (c) Por que não é necessário fazer os experimentos para ângulos inferiores a 45^{\circ} ? Qual seria a diferença do movimento do projétil se os valores tomados de ângulos de disparos fossem 30^{\circ}, 35^{\circ}, 40^{\circ} e 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Identificar o que caracteriza os ângulos equivalentes no lançamento de um projétil.
  2. (b) Determinar para qual ângulo obtém‑se o maior deslocamento (alcance) e explicar o porquê.
  3. (c) Explicar por que não é necessário fazer experimentos para ângulos inferiores a \,45^\circ e descrever qual seria a diferença no movimento do projétil se os ângulos de disparo fossem \,30^\circ,35^\circ,40^\circ e \,45^\circ.
Informações/hipóteses que vou usar (assuma que o enunciado está no caso padrão): lançamento com velocidade inicial igual para todos os disparos, terreno plano (o projétil retorna à mesma altura da decolagem), aceleração da gravidade g constante e ausência de resistência do ar. Estas hipóteses são as usuais para estudar o alcance de um projétil.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial e entender os componentes (isso é fundamental).
  • Seja \,v_0 a velocidade inicial e \theta o ângulo de lançamento medido a partir da horizontal.
  • Definições trigonométricas (num triângulo retângulo): o cosseno dá a razão entre a projeção horizontal e a hipotenusa, o seno dá a razão entre a projeção vertical e a hipotenusa. Assim:
v_{0x}=v_0\cos\theta \quad\text{(componente horizontal)}
v_{0y}=v_0\sin\theta \quad\text{(componente vertical)}
Explicação didática: o movimento horizontal usa v_{0x} (não há aceleração horizontal neste modelo), e o movimento vertical é influenciado por g (queda/elevação).

Passo 3

Calcular o tempo de voo T (tempo até o projétil voltar à mesma altura).
  • A posição vertical como função do tempo é
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
  • O projétil parte de y=0 e retorna a y=0. Logo, para t>0 satisfazemos
v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2=0 \;\Rightarrow\; t\big(v_{0y}-\tfrac{1}{2}gt\big)=0.
  • A solução não nula é
T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
Interpretação: quanto maior a componente vertical v_{0y}, mais tempo o projétil fica no ar.

Passo 4

Calcular o alcance horizontal R (deslocamento horizontal total).
  • O movimento horizontal é uniforme com velocidade v_{0x}, então
R = v_{0x}\,T = v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos
R=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.
Esta fórmula é central: o alcance depende de v_0^2/g multiplicado por \sin 2\theta. Tudo o que varia com \theta está dentro de \sin 2\theta.

Passo 5

Resposta à parte (a) — o que caracteriza ângulos equivalentes.
  • Dois ângulos \theta_1 e \theta_2 são equivalentes quando produzem o mesmo alcance R. Pela fórmula do alcance, isso acontece se e somente se
\sin(2\theta_1)=\sin(2\theta_2).
  • Uma igualdade útil da trigonometria é \sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha). Aplicando com \alpha=2\theta vemos que
\sin(2\theta)=\sin\big(180^\circ-2\theta\big)=\sin\big(2(90^\circ-\theta)\big).
  • Portanto, cada ângulo \theta tem um ângulo equivalente \,90^\circ-\theta que dá o mesmo alcance. Exemplo: \,30^\circ e \,60^\circ são equivalentes em alcance (desde que v_0 seja o mesmo).

Passo 6

Resposta à parte (b) — para qual ângulo obtém‑se o maior deslocamento e por quê.
  • Como R=\dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\theta, e sabemos que a função \sin atinge seu máximo igual a 1,
  • o alcance R é máximo quando \sin 2\theta=1, isto é quando
2\theta=90^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta=45^\circ.
  • Intuição física: \theta=45^\circ equilibra da melhor forma a componente horizontal (responsável por cobrir distância) e a componente vertical (responsável por tempo de voo). Nem muito “rente” (pouco tempo de voo), nem muito “vertical” (pouca componente horizontal) — o meio termo dá máximo alcance.
  • (Se quiser ver por derivada: dR/d\theta \propto \cos 2\theta, zera em 2\theta=90^\circ e dá máximo.)

Passo 7

Resposta à parte (c) — por que não é necessário fazer experimentos para ângulos inferiores a \,45^\circ.
  • Pelo que vimos, cada ângulo \theta<45^\circ tem um ângulo complementar \,90^\circ-\theta>45^\circ que produz exatamente o mesmo alcance R. Assim, medindo os alcances para ângulos \ge 45^\circ já obtemos os alcances correspondentes para os ângulos menores através da simetria. Por isso não é necessário repetir experimentos para os ângulos menores quando se conhece os equivalentes maiores.
  • Agora, diferença no movimento para os ângulos específicos \,30^\circ,35^\circ,40^\circ,45^\circ.
    • Use as fórmulas: R=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta,\qquad T=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g},onde H é a altura máxima.
    • Vamos comparar numericamente (valores aproximados das funções trigonométricas usados apenas para comparação; não é preciso calculadora para entender a ordem):
      • Para \theta=30^\circ: \sin 2\theta=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660,\qquad \sin\theta=\tfrac{1}{2}=0{,}5.Assim R é cerca de 0{,}8660 vezes \dfrac{v_0^2}{g}; T é cerca de 2\cdot0{,}5=\;1{,}0 vezes \dfrac{v_0}{g}; H é proporcional a 0{,}25/2=0{,}125 vezes \dfrac{v_0^2}{g}.
      • Para \theta=35^\circ: \sin 2\theta=\sin 70^\circ\approx 0{,}93969,\qquad \sin 35^\circ\approx 0{,}57358.Assim R é cerca de 0{,}9397 vezes \dfrac{v_0^2}{g}; T é 2\cdot0{,}5736\approx 1{,}1472 vezes \dfrac{v_0}{g}; H é proporcional a \dfrac{0{,}5736^2}{2}\approx 0{,}1645 vezes \dfrac{v_0^2}{g}.
      • Para \theta=40^\circ: \sin 2\theta=\sin 80^\circ\approx 0{,}98481,\qquad \sin 40^\circ\approx 0{,}64279.Assim R é cerca de 0{,}9848 vezes \dfrac{v_0^2}{g}; T é 2\cdot0{,}6428\approx 1{,}2856 vezes \dfrac{v_0}{g}; H é proporcional a \dfrac{0{,}6428^2}{2}\approx 0{,}2066 vezes \dfrac{v_0^2}{g}.
      • Para \theta=45^\circ: \sin 2\theta=\sin 90^\circ=1,\qquad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}70711.Assim R é 1 vez \dfrac{v_0^2}{g} (o máximo); T é 2\cdot0{,}7071\approx 1{,}4142 vezes \dfrac{v_0}{g}; H é proporcional a \dfrac{0{,}7071^2}{2}=\dfrac{1/2}{2}=0{,}25 vezes \dfrac{v_0^2}{g}.
  • Interpretação das diferenças:
    • Os alcances crescem conforme \theta aumenta de 30^\circ a 45^\circ: entre os ângulos dados, \,45^\circ dá o maior alcance (100% do máximo) e \,30^\circ dá o menor (≈86,6% do máximo).
    • O tempo de voo e a altura máxima também aumentam com \theta nesses valores: ângulos maiores deixam o projétil mais tempo no ar e alcançam maior altura.
    • Mesmo que dois ângulos diferentes possam produzir o mesmo alcance (por exemplo 30^\circ e 60^\circ), suas trajetórias diferem: o ângulo maior (60°) teria maior altura máxima e maior tempo de voo que o de 30°, mas o mesmo alcance horizontal.

Resposta

(a) Dois ângulos são equivalentes quando produzem o mesmo alcance, isto é quando \sin(2\theta_1)=\sin(2\theta_2); em particular \theta e 90^\circ-\theta são equivalentes (ex.: 30^\circ e 60^\circ).\n
(b) O maior deslocamento ocorre em \theta=45^\circ, porque R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} e \sin 2\theta atinge seu máximo 1 em 2\theta=90^\circ.\n
(c) Não é necessário fazer experimentos para ângulos <45^\circ porque cada um tem um equivalente >45^\circ com o mesmo alcance; para \,30^\circ,35^\circ,40^\circ,45^\circ os alcances relativos (proporcionais a \sin 2\theta) são aproximadamente 0{,}8660,\;0{,}9397,\;0{,}9848,\;1{,}0000 respectivamente, enquanto tempo de voo e altura máxima aumentam com \theta nesses valores (por exemplo T\propto 2\sin\theta dá aproximadamente 1{,}000,\;1{,}147,\;1{,}286,\;1{,}414 em unidades de \tfrac{v_0}{g} para os mesmos ângulos).

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