Questão 5 - Laplaciano e funções harmônicas
Considere a função
(a) Calcule o laplaciano
e determine se
é harmônica.
(b) Explique fisicamente o que significa uma função ser harmônica e discuta se
pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas.
(b) Explique fisicamente o que significa uma função ser harmônica e discuta se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular o laplaciano
e dizer se é harmônica. - (b) Explicar fisicamente o que significa uma função ser harmônica e discutir se
pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
. Não há mais dados (como domínio ou condições de contorno), portanto vamos trabalhar com derivadas parciais globais da função polinomial.
Passo 2
O que é preciso calcular primeiro: as derivadas parciais de segunda ordem de
. Vou lembrar passo a passo como fazer derivadas parciais (aquela aulinha rápida, calma — você consegue).
- Definição prática: a derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada considerando como constante. Analogamente, é a derivada considerando como constante. - A segunda derivada parcial em
é e em é . - O laplaciano em duas variáveis é a soma das segundas derivadas:
Agora vamos derivar a função dada termo a termo. Relembre as regras básicas usadas: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
em relação a
é
(pois
é tratado como constante); a derivada de
em relação a
é
(pois
é constante).
Passo 3
Calcule
e depois
.
- Derivando em
: Agora cada termo: Portanto - Segunda derivada em
: porque a derivada de é e de em relação a é .
Passo 4
Calcule
e depois
.
- Derivando em
: Cada termo: Portanto - Segunda derivada em
:
Passo 5
Agora somamos as segundas derivadas para obter o laplaciano:
Definição: uma função é chamada harmônica num domínio se satisfaça a equação de Laplace
nesse domínio. Como
para todos
(é uma identidade verdadeira para a função polinomial dada), concluímos que
é harmônica em toda a reta plane
.
Passo 6
Explicação física do que significa ser harmônica (a versão tranquila e intuitiva):
- A equação
é a equação de Laplace. Em física, soluções de Laplace aparecem quando você procura um estado estacionário (em equilíbrio) sem fontes ou sumidouros internos. Exemplos clássicos: - Temperatura em regime estacionário: se a distribuição de temperatura
num pedaço de material não muda com o tempo e não há geração interna de calor, então . - Potencial elétrico ou gravitacional numa região sem carga/masse: o potencial
satisfaz onde não há densidade de carga/masa.
- Temperatura em regime estacionário: se a distribuição de temperatura
- Outra forma de ver: o laplaciano é a divergência do gradiente,
Fisicamente, é um campo (por exemplo, fluxo de calor ou campo elétrico negativo) e significa que não há fonte líquida dentro da região — o que entra por um lado sai por outro, equilíbrio sem geração interna. - Consequência importante (útil na prova): as funções harmônicas obedecem ao princípio do máximo – não podem ter máximos ou mínimos locais internos, salvo serem constantes. Isso significa que quaisquer extremos ocorrem na fronteira do domínio.
Passo 7
Aplicando tudo ao nosso
e discutindo se pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas:
- Como vimos,
em todo , logo é harmônica — matematicamente está apta a representar um estado de equilíbrio sem fontes internas. - Interpretação prática:
poderia ser, por exemplo, a distribuição de temperatura em uma região do plano se quisermos um caso sem geração de calor interno, desde que as condições de contorno na fronteira sejam compatíveis com essa função. - Observação física realista: apesar de ser harmônica globalmente,
é um polinômio de grau 2 que cresce sem limite quando . Em muitos problemas físicos (p.ex. potencial elétrico no espaço inteiro) espera-se comportamento de decaimento no infinito; nesse sentido pode não ser a solução física adequada definida em todo se precisarmos de comportamento assintótico. Mas em uma região limitada (domínio fechado) com condições de contorno apropriadas, é perfeitamente válida como solução de equilíbrio sem fontes. - Para ilustrar uma propriedade extra: podemos checar o ponto crítico
(onde ). Resolvendo e obtemos . O teste das derivadas segundas dá , , . O determinante da Hessiana é , portanto é uma sela, não um máximo nem mínimo — coerente com o princípio do máximo para funções harmônicas.
Resposta
(a)
. Logo
é harmônica.
(b) Ser harmônica significa satisfazer , isto é, representar um estado estacionário sem fontes internas (ex.: temperatura em equilíbrio sem geração de calor ou potencial elétrico numa região sem carga). Portanto
pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas (em um domínio apropriado), embora por ser um polinômio de grau 2 que cresce no infinito possa não ser fisicamente adequada em todo
quando se exige decaimento no infinito.
(b) Ser harmônica significa satisfazer