Questão 5 - Laplaciano e funções harmônicas

Considere a função
u(x, y)=x^{2}-y^{2}+x y .
(a) Calcule o laplaciano \Delta u=u_{x x}+u_{y y} e determine se u é harmônica.
(b) Explique fisicamente o que significa uma função ser harmônica e discuta se u pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas.

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy
e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o laplaciano \Delta u=u_{xx}+u_{yy} e dizer se u é harmônica.
  2. (b) Explicar fisicamente o que significa uma função ser harmônica e discutir se u pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de u(x,y). Não há mais dados (como domínio ou condições de contorno), portanto vamos trabalhar com derivadas parciais globais da função polinomial.

Passo 2

O que é preciso calcular primeiro: as derivadas parciais de segunda ordem de u. Vou lembrar passo a passo como fazer derivadas parciais (aquela aulinha rápida, calma — você consegue).
  • Definição prática: a derivada parcial de u em relação a x, escrita \,u_x, é a derivada considerando y como constante. Analogamente, \,u_y é a derivada considerando x como constante.
  • A segunda derivada parcial em x é \,u_{xx}=(u_x)_x e em y é \,u_{yy}=(u_y)_y.
  • O laplaciano em duas variáveis é a soma das segundas derivadas: \Delta u = u_{xx} + u_{yy}.
Agora vamos derivar a função dada termo a termo. Relembre as regras básicas usadas: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; a derivada de -y^{2} em relação a x é 0 (pois y é tratado como constante); a derivada de xy em relação a x é y (pois y é constante).

Passo 3

Calcule \,u_x e depois \,u_{xx}.
  • Derivando em x: u(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy \quad\Longrightarrow\quad u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(xy).Agora cada termo: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y.Portanto u_x = 2x + y.
  • Segunda derivada em x: u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+y)=2+0=2,porque a derivada de 2x é 2 e de y em relação a x é 0.

Passo 4

Calcule \,u_y e depois \,u_{yy}.
  • Derivando em y: u(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy \quad\Longrightarrow\quad u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(xy).Cada termo: \frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.Portanto u_y = -2y + x.
  • Segunda derivada em y: u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2y+x)=-2+0=-2.

Passo 5

Agora somamos as segundas derivadas para obter o laplaciano:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=2+(-2)=0.
Definição: uma função é chamada harmônica num domínio se satisfaça a equação de Laplace \Delta u=0 nesse domínio. Como \Delta u=0 para todos (x,y) (é uma identidade verdadeira para a função polinomial dada), concluímos que u é harmônica em toda a reta plane \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Explicação física do que significa ser harmônica (a versão tranquila e intuitiva):
  • A equação \Delta u=0 é a equação de Laplace. Em física, soluções de Laplace aparecem quando você procura um estado estacionário (em equilíbrio) sem fontes ou sumidouros internos. Exemplos clássicos:
    • Temperatura em regime estacionário: se a distribuição de temperatura u(x,y) num pedaço de material não muda com o tempo e não há geração interna de calor, então \Delta u=0.
    • Potencial elétrico ou gravitacional numa região sem carga/masse: o potencial u satisfaz \Delta u=0 onde não há densidade de carga/masa.
  • Outra forma de ver: o laplaciano é a divergência do gradiente, \Delta u = \nabla\cdot(\nabla u).Fisicamente, \nabla u é um campo (por exemplo, fluxo de calor ou campo elétrico negativo) e \nabla\cdot(\nabla u)=0 significa que não há fonte líquida dentro da região — o que entra por um lado sai por outro, equilíbrio sem geração interna.
  • Consequência importante (útil na prova): as funções harmônicas obedecem ao princípio do máximo – não podem ter máximos ou mínimos locais internos, salvo serem constantes. Isso significa que quaisquer extremos ocorrem na fronteira do domínio.

Passo 7

Aplicando tudo ao nosso u e discutindo se pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas:
  • Como vimos, \Delta u=0 em todo \mathbb{R}^{2}, logo u é harmônica — matematicamente está apta a representar um estado de equilíbrio sem fontes internas.
  • Interpretação prática: u poderia ser, por exemplo, a distribuição de temperatura em uma região do plano se quisermos um caso sem geração de calor interno, desde que as condições de contorno na fronteira sejam compatíveis com essa função.
  • Observação física realista: apesar de ser harmônica globalmente, u(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy é um polinômio de grau 2 que cresce sem limite quando |(x,y)|\to\infty. Em muitos problemas físicos (p.ex. potencial elétrico no espaço inteiro) espera-se comportamento de decaimento no infinito; nesse sentido u pode não ser a solução física adequada definida em todo \mathbb{R}^{2} se precisarmos de comportamento assintótico. Mas em uma região limitada (domínio fechado) com condições de contorno apropriadas, u é perfeitamente válida como solução de equilíbrio sem fontes.
  • Para ilustrar uma propriedade extra: podemos checar o ponto crítico (0,0) (onde \nabla u=0). Resolvendo u_x=2x+y=0 e u_y=x-2y=0 obtemos (x,y)=(0,0). O teste das derivadas segundas dá u_{xx}=2, u_{yy}=-2, u_{xy}=1. O determinante da Hessiana é u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2}=2\cdot(-2)-1=-5<0, portanto (0,0) é uma sela, não um máximo nem mínimo — coerente com o princípio do máximo para funções harmônicas.

Resposta

(a) \Delta u=0. Logo u é harmônica.
(b) Ser harmônica significa satisfazer \Delta u=0, isto é, representar um estado estacionário sem fontes internas (ex.: temperatura em equilíbrio sem geração de calor ou potencial elétrico numa região sem carga). Portanto u pode representar um estado de equilíbrio sem fontes internas (em um domínio apropriado), embora por ser um polinômio de grau 2 que cresce no infinito possa não ser fisicamente adequada em todo \mathbb{R}^{2} quando se exige decaimento no infinito.

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