Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
d) f(x)=e^{4 x}, em torno do ponto \bar{x}=0,5.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=e^{4 x} e pede para realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação \bar{x}=0,5.\n
Além disso, é pedido que eu escolha um ponto próximo a \bar{x} (por exemplo, \bar{x}\pm 0,1), analise a precisão do modelo linear nesses pontos e informe o erro percentual encontrado.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Função: f(x)=e^{4 x}.\n
Ponto de operação: \bar{x}=0,5.\n
Testar pontos próximos: vou usar x=0,6 (\bar{x}+0,1) e x=0,4 (\bar{x}-0,1).\n
Passo 2
Conceito que vamos usar (passo-a-passo didático): a linearização (aproximação de primeira ordem) de uma função f em torno de \bar{x} é dada pela expansão de Taylor de ordem 1:
L(x)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})\,(x-\bar{x}).
Aqui L(x) é o modelo linear; f(\bar{x}) é o valor da função no ponto de operação; f'(\bar{x}) é a derivada da função avaliada em \bar{x}.\n
Explicando a derivada necessária: para f(x)=e^{4x} usamos a regra da cadeia. Se g(x)=4x então f(x)=e^{g(x)} e
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)=e^{4x}\cdot 4=4e^{4x}.
Ou seja, a derivada de e^{4x} é 4e^{4x}. Isso é direto: derivada da exponencial é ela mesma vezes a derivada do expoente.
Passo 3
Avaliar f e f' no ponto \bar{x}=0,5.\n
Calculemos f(\bar{x}):
f(0,5)=e^{4\cdot 0,5}=e^{2}.
Calculemos f'(\bar{x}):
f'(0,5)=4e^{4\cdot 0,5}=4e^{2}.
Portanto, f(\bar{x})=e^{2} e f'(\bar{x})=4e^{2}.
Passo 4
Montar a linearização usando a fórmula da Passo 2:
Isso mede a diferença relativa entre o valor verdadeiro f(x) e a aproximação linear L(x), em porcentagem.
Passo 6
Avaliar as quantidades necessárias e calcular os erros.\n
Primeiro note que e^{2}\approx 7,3890560989 e e^{0,4}\approx 1,4918246976. Vou usar essas aproximações com 7 casas significativas para as contas numéricas.
Interpretação rápida e incentivo: a aproximação linear é razoavelmente boa para deslocamentos pequenos, mas como e^{4x} é uma função exponencial convexa, o erro cresce mais rápido para deslocamentos para a esquerda ou direita; aqui o deslocamento para -0,1 produziu erro maior (\approx 10{,}50\%) que para +0,1 (\approx 6{,}16\%). Dá pra ver que a linearização funciona melhor quanto menor for o deslocamento de \bar{x}.
Resposta
L(x)=e^{2}(4x-1)\n
Erro percentual em x=0,6: 6{,}16\%\n
Erro percentual em x=0,4: 10{,}50\%