Questão 7 - Para manter a temperatura do interior de uma casa em 20o
  • 20 pontos C , o consumo de energia elétrica dos aquecedores é de 30 kW em um dia em que a temperatura externa é de -7o C. A taxa com que esta casa c ontribui para o aumento de entropia do Universo é de:
    113 \mathrm{~kW} / \mathrm{K}
    215 \mathrm{~W} / \mathrm{K}
    30 \mathrm{~kW} / \mathrm{K}
    113 \mathrm{~W} / \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já formatadas com os valores que aparecem no texto):
  • A temperatura interior da casa é \,20^\circ\mathrm{C}.
  • A temperatura externa é -7^\circ\mathrm{C}.
  • O consumo (potência) elétrica dos aquecedores é \,30\\ \mathrm{kW} (interpreta-se como potência elétrica entregue continuamente à casa).
    A pergunta é: qual é a taxa com que essa casa contribui para o aumento de entropia do Universo (ou seja, a taxa de geração de entropia \dot{S}_{\mathrm{univ}})?

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicados de forma simples).
  • Entropia é uma grandeza que mede a “dispersão de energia” por unidade de temperatura. Quando uma quantidade de calor \,Q é transferida para um reservatório à temperatura \,T, a variação de entropia do reservatório é \,Q/T.
  • Trabalho (energia elétrica entregue por uma fonte ideal) transporta energia sem transportar entropia. Assim, energia elétrica entregue ao aquecedor é tratada como trabalho e, por si só, não traz entropia para a casa.
  • Em regime estacionário (temperatura da casa constante no tempo) a energia elétrica entregue por unidade de tempo (potência elétrica \dot{W}) é igual, em média, à potência de calor que sai da casa para o exterior \dot{Q}_{\mathrm{out}}. Ou seja, \dot{Q}_{\mathrm{out}}=\dot{W}.
  • Como a fonte elétrica fornece trabalho (sem entropia) e toda energia é eventualmente rejeitada como calor para o ambiente externo à temperatura \,T_{\mathrm{out}}, a taxa de geração de entropia do Universo é simplesmente a taxa com que o ambiente externo ganha entropia: \dot{S}_{\mathrm{univ}}=\dot{Q}_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{out}}.
    Observação didática: se o calor viesse de um reservatório quente a temperatura \,T_{\mathrm{in}} (em vez de vir de trabalho), a expressão correta seria \dot{S}_{\mathrm{gen}}=\dot{Q}\left(\dfrac{1}{T_{\mathrm{out}}}-\dfrac{1}{T_{\mathrm{in}}}\right). Aqui isso não se aplica porque a energia entra como trabalho (eletricidade), não como calor vindo de um reservatório térmico.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin (porque entropia usa temperatura absoluta):
T_{\mathrm{in}} = 20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 20 = 293{,}15\\ \mathrm{K}
T_{\mathrm{out}} = -7^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 - 7 = 266{,}15\\ \mathrm{K}
Explicação rápida: sempre somar 273,15 para ir de graus Celsius para Kelvin.

Passo 4

Energia/fluxo em regime estacionário:
\dot{W} = 30\\ \mathrm{kW} = 30000\\ \mathrm{W}.
Como a casa está em regime estacionário a potência elétrica entregue é dissipada como calor para o exterior, logo
\dot{Q}_{\mathrm{out}} = \dot{W} = 30000\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Aplicar a fórmula explicada no Passo 2 para a taxa de geração de entropia do Universo:
\dot{S}_{\mathrm{univ}}=\frac{\dot{Q}_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{out}}}.
Substituindo os valores:
\dot{S}_{\mathrm{univ}}=\frac{30000}{266{,}15}\\ \mathrm{W/K}.
Agora fazer a conta passo a passo: primeiro o inverso de \,T_{\mathrm{out}}
\frac{1}{266{,}15}\approx 0{,}0037574\\ \mathrm{K^{-1}}.
Multiplicando por 30000:
\dot{S}_{\mathrm{univ}}\approx 30000\times 0{,}0037574 \approx 112{,}7\\ \mathrm{W/K}.
Arredondando com dois algarismos significativos coerentes com os dados: \approx 113\\ \mathrm{W/K}.

Passo 6

Pequena verificação e comentário para não confundir:
  • Se alguém calculasse \dot{S}=\dot{Q}\bigl(\tfrac{1}{T_{\mathrm{out}}}-\tfrac{1}{T_{\mathrm{in}}}\bigr) (a fórmula para transferência de calor entre dois reservatórios térmicos), obteria um valor muito menor (≈ 10{,}4\\ \mathrm{W/K}). Essa fórmula aplica-se quando o calor sai de um reservatório quente que perde calor; aqui o calor NÃO vem de um reservatório térmico — vem da conversão de trabalho elétrico em calor — por isso o resultado correto neste problema é \dot{Q}_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{out}}.
  • Conclusão prática: o aquecedor elétrico aumenta a entropia do Universo na taxa de aproximadamente \,113\\ \mathrm{W/K}. Força aí — é chato, mas é direto quando se lembra que trabalho não carrega entropia!

Resposta

\,113\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}

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