Questão 1: Uma máquina CC de excitação separada possui uma tensão de armadura nominal de
para uma corrente nominal de 400 A . A resistència do enrolamento da armadura é de
e a indutância
. Se consideramos a tensão induzida em
, para uma velocidade nominal de
rpm. (2,5P)
Determinar:
a) O circuito equivalente da máquina;
b) A equação dinâmica do circuito de armadura;
c) A corrente de armadura
em função do tempo;
d) Se as condições iniciais da máquina fossem
de
cm quantos segundos alcança a corrente de regime;
e) A potência no eixo da máquina considerando as perdas depressiveis.
Determinar:
a) O circuito equivalente da máquina;
b) A equação dinâmica do circuito de armadura;
c) A corrente de armadura
d) Se as condições iniciais da máquina fossem
e) A potência no eixo da máquina considerando as perdas depressiveis.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (isto é tudo que o problema dá e o que ele pede):
- Tensão nominal da armadura:
. - Corrente nominal da armadura:
. - Resistência da armadura:
. - Indutância da armadura:
. - Força contraeletromotriz (tensão induzida) em velocidade nominal:
. - Velocidade nominal:
(usada só para justificar dada). - O enunciado pede:
a) o circuito equivalente da máquina;
b) a equação dinâmica do circuito de armadura;
c) a corrente de armadura;
d) supondo condições iniciais onde a corrente inicial valeda corrente de regime, quanto tempo (segundos) leva para atingir o regime;
e) a potência no eixo da máquina considerando perdas desprezíveis.
Observação de interpretação (importante): o texto tem uma expressão ambígua “50 % de
cm”. Vou interpretar isso como “a corrente inicial é
da corrente de regime (isto é,
)”, porque é a interpretação que faz sentido físico para calcular o tempo de estabelecimento da corrente. Seguirei essa interpretação sem pedir mais informações.
Passo 2
Circuito equivalente (descrição didática):
- A armadura da máquina CC, em representação elétrica, é um circuito série formado por:
- uma fonte de tensão aplicada
(tensão na armadura); - a resistência
do enrolamento da armadura; - a indutância
do enrolamento da armadura; - e, em série, a força contra-eletromotriz (f.c.e.m.) gerada pela rotação,
, que se opõe à tensão aplicada.
- uma fonte de tensão aplicada
- Em palavras:
está em série com , e com uma fonte de tensão (esta última com polaridade que reduz a tensão disponível para acelerar a corrente). - Esse circuito explica tanto o regime estacionário (quando
) quanto a dinâmica transiente (quando ).
Passo 3
Equação dinâmica do circuito de armadura (princípio físico e montagem da equação):
- Aplicando a lei das malhas (lei de Kirchhoff das tensões) ao circuito série, a soma algébrica das quedas é igual à tensão aplicada. Tomando o sentido da corrente
e lembrando que é uma fonte que se opõe:
- Isolando os termos do lado da variável corrente, obtemos a forma canônica da equação diferencial de primeira ordem:
- Aqui explico cada símbolo:
-
é a indutância (unidade: henry), e o termo representa a tensão induzida na indutância quando a corrente varia; -
é a queda resistiva (perda Joule) na armadura; -
é a tensão aplicada aos terminais da armadura; -
é a f.c.e.m. (back-emf) gerada pelo campo e rotação — ela reduz a tensão líquida que acelera a corrente; - O lado direito
é a tensão “efetiva” disponível para vencer a resistência e a indutância e assim gerar corrente.
-
Passo 4
Solução em regime estacionário e constante de tempo (cálculo numérico e interpretação física):
- Em regime permanente (steady-state),
. Então da equação dinâmica:
- Portanto a corrente de regime é
o que confere com o valor nominal informado — bom sinal de coerência.
- A constante de tempo da malha RL é
- Interpretação:
é o tempo característico do circuito; após cerca de a resposta estará praticamente no regime (regra prática: ≈ do valor final).
Passo 5
Resolução completa da equação diferencial (método e dedução passo a passo):
- Temos a EDO linear de primeira ordem com termo constante:
- Dividindo por
para ficar no formato padrão:
- A solução geral de uma EDO da forma
é
onde
é o valor em regime. Aplicando aqui:
-
, -
- Logo, a corrente no tempo é
- Substituindo os valores numéricos já calculados (
e ):
- Observação prática: se você souber a corrente inicial
, basta colocar nesse lugar e obter a curva exponencial.
Passo 6
Aplicando a condição inicial pedida (interpretação feita) e escrevendo
explicitamente:
- Pela interpretação adotada,
- Substituindo em
:
- Portanto a expressão final com números é
- Nota: escrevi
porque . Isso é fácil de usar na prova e em cálculos rápidos.
Passo 7
Tempo para alcançar o regime (definição prática e cálculo):
- Regra prática: costuma-se considerar que a resposta está “praticamente” em regime após
, onde o erro é menor que (mais precisamente cerca de a ). Aqui:
- Se quisermos um critério numérico explícito, por exemplo atingir
do valor final , resolvemos para tal que . Usando a expressão:
Tomando logaritmo natural:
- Numérico:
- Resumo: segundo a regra dos
leva aproximadamente . Para 99% do valor leva cerca de . Ambos são respostas úteis dependendo do critério usado na prova.
Passo 8
Potência no eixo da máquina considerando perdas desprezíveis (física e cálculo):
- Potência elétrica fornecida à armadura é
. - A potência dissipada por efeito Joule na resistência é
. - A potência convertida em potência mecânica (potência no eixo, desprezando outras perdas) é a potência eletromagnética desenvolvida:
- Em regime estacionário, com
e :
- Comentário físico curto: isso vem da energia elétrica que entra na armadura menos as perdas Joule; ou diretamente do produto da f.c.e.m. pela corrente.
Resposta
(a) Circuito equivalente: fonte
em série com
,
e fonte contra-eletromotriz
(polaridade que se opõe a
).
(b) Equação dinâmica:
(c) Corrente em função do tempo (solução geral): , com
e
. Com a condição inicial adotada abaixo,
(d) Com a hipótese : tempo prático
; para atingir
do regime
(e) Potência no eixo (perdas desprezíveis):
(b) Equação dinâmica:
(c) Corrente em função do tempo (solução geral):
(d) Com a hipótese
(e) Potência no eixo (perdas desprezíveis):