Questão 1: Uma máquina CC de excitação separada possui uma tensão de armadura nominal de 262,5 \mathrm{~V} para uma corrente nominal de 400 A . A resistència do enrolamento da armadura é de 0,125 \Omega e a indutância L_{0}=25 \mathrm{mH}. Se consideramos a tensão induzida em 212,5 \mathrm{~V}, para uma velocidade nominal de \omega_{r}=1000 rpm. (2,5P)
Determinar:
a) O circuito equivalente da máquina;
b) A equação dinâmica do circuito de armadura;
c) A corrente de armadura I_{a} em função do tempo;
d) Se as condições iniciais da máquina fossem 50 \% de V_{a} cm quantos segundos alcança a corrente de regime;
e) A potência no eixo da máquina considerando as perdas depressiveis.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (isto é tudo que o problema dá e o que ele pede):
  • Tensão nominal da armadura: \,V_{a}=262{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Corrente nominal da armadura: \,I_{a,\text{nom}}=400\\ \mathrm{A}.
  • Resistência da armadura: \,R_{a}=0{,}125\\ \Omega.
  • Indutância da armadura: \,L_{a}=25\\ \mathrm{mH}=0{,}025\\ \mathrm{H}.
  • Força contraeletromotriz (tensão induzida) em velocidade nominal: \,E_{a}=212{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Velocidade nominal: \,\omega_{r}=1000\\ \mathrm{rpm} (usada só para justificar E_a dada).
  • O enunciado pede:
    a) o circuito equivalente da máquina;
    b) a equação dinâmica do circuito de armadura;
    c) a corrente de armadura I_{a}(t);
    d) supondo condições iniciais onde a corrente inicial vale 50\% da corrente de regime, quanto tempo (segundos) leva para atingir o regime;
    e) a potência no eixo da máquina considerando perdas desprezíveis.
Observação de interpretação (importante): o texto tem uma expressão ambígua “50 % de V_{a} cm”. Vou interpretar isso como “a corrente inicial é 50\% da corrente de regime (isto é, I_{a}(0)=0{,}5\,I_{a,\text{ss}})”, porque é a interpretação que faz sentido físico para calcular o tempo de estabelecimento da corrente. Seguirei essa interpretação sem pedir mais informações.

Passo 2

Circuito equivalente (descrição didática):
  • A armadura da máquina CC, em representação elétrica, é um circuito série formado por:
    • uma fonte de tensão aplicada \,V_{a} (tensão na armadura);
    • a resistência \,R_{a} do enrolamento da armadura;
    • a indutância \,L_{a} do enrolamento da armadura;
    • e, em série, a força contra-eletromotriz (f.c.e.m.) gerada pela rotação, \,E_{a}, que se opõe à tensão aplicada.
  • Em palavras: \,V_{a} está em série com \,R_{a}, \,L_{a} e com uma fonte de tensão \,E_{a} (esta última com polaridade que reduz a tensão disponível para acelerar a corrente).
  • Esse circuito explica tanto o regime estacionário (quando \frac{di}{dt}=0) quanto a dinâmica transiente (quando \frac{di}{dt}\neq0).

Passo 3

Equação dinâmica do circuito de armadura (princípio físico e montagem da equação):
  • Aplicando a lei das malhas (lei de Kirchhoff das tensões) ao circuito série, a soma algébrica das quedas é igual à tensão aplicada. Tomando o sentido da corrente i_{a}(t) e lembrando que \,E_{a} é uma fonte que se opõe:
V_{a} = R_{a}\,i_{a}(t) + L_{a}\,\frac{di_{a}}{dt}(t) + E_{a}.
  • Isolando os termos do lado da variável corrente, obtemos a forma canônica da equação diferencial de primeira ordem:
L_{a}\,\frac{di_{a}}{dt}(t) + R_{a}\,i_{a}(t) = V_{a} - E_{a}.
  • Aqui explico cada símbolo:
    • \,L_{a} é a indutância (unidade: henry), e o termo L_{a}\,\dfrac{di_{a}}{dt} representa a tensão induzida na indutância quando a corrente varia;
    • \,R_{a}\,i_{a} é a queda resistiva (perda Joule) na armadura;
    • \,V_{a} é a tensão aplicada aos terminais da armadura;
    • \,E_{a} é a f.c.e.m. (back-emf) gerada pelo campo e rotação — ela reduz a tensão líquida que acelera a corrente;
    • O lado direito \,V_{a}-E_{a} é a tensão “efetiva” disponível para vencer a resistência e a indutância e assim gerar corrente.

Passo 4

Solução em regime estacionário e constante de tempo (cálculo numérico e interpretação física):
  • Em regime permanente (steady-state), \,\frac{di_{a}}{dt}=0. Então da equação dinâmica:
R_{a}\,I_{a,\text{ss}} = V_{a} - E_{a}.
  • Portanto a corrente de regime é
I_{a,\text{ss}} = \frac{V_{a}-E_{a}}{R_{a}} = \frac{262{,}5-212{,}5}{0{,}125} = \frac{50}{0{,}125} = 400\\ \mathrm{A},
o que confere com o valor nominal informado — bom sinal de coerência.
  • A constante de tempo da malha RL é
\tau = \frac{L_{a}}{R_{a}} = \frac{0{,}025}{0{,}125} = 0{,}2\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: \tau é o tempo característico do circuito; após cerca de 5\tau a resposta estará praticamente no regime (regra prática: 5\tau 99{,}3\% do valor final).

Passo 5

Resolução completa da equação diferencial (método e dedução passo a passo):
  • Temos a EDO linear de primeira ordem com termo constante:
L_{a}\,\frac{di_{a}}{dt} + R_{a}\,i_{a} = V_{a}-E_{a}.
  • Dividindo por L_{a} para ficar no formato padrão:
\frac{di_{a}}{dt} + \frac{R_{a}}{L_{a}}\,i_{a} = \frac{V_{a}-E_{a}}{L_{a}}.
  • A solução geral de uma EDO da forma \,\dfrac{dy}{dt} + \alpha y = \beta é
y(t)=y_{\infty} + (y(0)-y_{\infty})\,e^{-\alpha t},
onde y_{\infty}=\dfrac{\beta}{\alpha} é o valor em regime. Aplicando aqui:
  • \alpha=\dfrac{R_{a}}{L_{a}}=\dfrac{1}{\tau},
  • y_{\infty}=I_{a,\text{ss}}=\dfrac{V_{a}-E_{a}}{R_{a}}.
  • Logo, a corrente no tempo é
i_{a}(t)=I_{a,\text{ss}} + \big(i_{a}(0)-I_{a,\text{ss}}\big)\,e^{-t/\tau}.
  • Substituindo os valores numéricos já calculados ( I_{a,\text{ss}}=400\\ \mathrm{A} e \tau=0{,}2\\ \mathrm{s}):
\boxed{\,i_{a}(t)=400 + \big(i_{a}(0)-400\big)\,e^{-t/0{,}2}\\ \\ (\mathrm{A})\,.}
  • Observação prática: se você souber a corrente inicial i_{a}(0), basta colocar nesse lugar e obter a curva exponencial.

Passo 6

Aplicando a condição inicial pedida (interpretação feita) e escrevendo i_{a}(t) explicitamente:
  • Pela interpretação adotada, i_{a}(0)=0{,}5\,I_{a,\text{ss}}=0{,}5\times 400 = 200\\ \mathrm{A}.
  • Substituindo em i_{a}(t):
i_{a}(t)=400 + (200-400)\,e^{-t/0{,}2} = 400 - 200\,e^{-5t}.
  • Portanto a expressão final com números é
\boxed{\,i_{a}(t)=400 - 200\,e^{-5t}\\ \\ (\mathrm{A}).}
  • Nota: escrevi e^{-5t} porque 1/0{,}2=5\\ \mathrm{s}^{-1}. Isso é fácil de usar na prova e em cálculos rápidos.

Passo 7

Tempo para alcançar o regime (definição prática e cálculo):
  • Regra prática: costuma-se considerar que a resposta está “praticamente” em regime após 5\tau, onde o erro é menor que 1\% (mais precisamente cerca de 0{,}67\% a 0{,}7\%). Aqui:
5\tau = 5 \times 0{,}2 = 1{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Se quisermos um critério numérico explícito, por exemplo atingir 99{,}0\% do valor final I_{a,\text{ss}}, resolvemos para t tal que i_{a}(t)=0{,}99\,I_{a,\text{ss}}=0{,}99\times 400=396\\ \mathrm{A}. Usando a expressão:
396 = 400 - 200\,e^{-5t} \quad\Rightarrow\quad 200\,e^{-5t}=4 \quad\Rightarrow\quad e^{-5t}=0{,}02.
Tomando logaritmo natural:
-5t = \ln(0{,}02) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{5}\ln(0{,}02) = 0{,}2\ln(50).
  • Numérico:
t \approx 0{,}2\times 3{,}9120 \approx 0{,}782\\ \mathrm{s}.
  • Resumo: segundo a regra dos 5\tau leva aproximadamente 1{,}0\\ \mathrm{s}. Para 99% do valor leva cerca de 0{,}782\\ \mathrm{s}. Ambos são respostas úteis dependendo do critério usado na prova.

Passo 8

Potência no eixo da máquina considerando perdas desprezíveis (física e cálculo):
  • Potência elétrica fornecida à armadura é P_{\text{in}}=V_{a}\,I_{a}.
  • A potência dissipada por efeito Joule na resistência é P_{R}=R_{a}\,I_{a}^{2}.
  • A potência convertida em potência mecânica (potência no eixo, desprezando outras perdas) é a potência eletromagnética desenvolvida:
P_{\text{eletrom}} = E_{a}\,I_{a}.
  • Em regime estacionário, com I_{a}=I_{a,\text{ss}}=400\\ \mathrm{A} e E_{a}=212{,}5\\ \mathrm{V}:
P_{\text{eixo}} = E_{a}\,I_{a,\text{ss}} = 212{,}5 \times 400 = 85.000\\ \mathrm{W} = 85\\ \mathrm{kW}.
  • Comentário físico curto: isso vem da energia elétrica que entra na armadura menos as perdas Joule; ou diretamente do produto da f.c.e.m. pela corrente.

Resposta

(a) Circuito equivalente: fonte \,V_{a} em série com \,R_{a}=0{,}125\\ \Omega, \,L_{a}=0{,}025\\ \mathrm{H} e fonte contra-eletromotriz \,E_{a}=212{,}5\\ \mathrm{V} (polaridade que se opõe a \,V_{a}).
(b) Equação dinâmica: \;L_{a}\dfrac{di_{a}}{dt} + R_{a}\,i_{a} = V_{a} - E_{a}.
(c) Corrente em função do tempo (solução geral): \;i_{a}(t)=I_{a,\text{ss}} + \big(i_{a}(0)-I_{a,\text{ss}}\big)\,e^{-t/\tau}, com I_{a,\text{ss}}=400\\ \mathrm{A} e \tau=0{,}2\\ \mathrm{s}. Com a condição inicial adotada abaixo, \;i_{a}(t)=400 - 200\,e^{-5t}\\ \mathrm{(A)}.
(d) Com a hipótese i_{a}(0)=0{,}5\,I_{a,\text{ss}}=200\\ \mathrm{A}: tempo prático 5\tau=1{,}0\\ \mathrm{s}; para atingir 99\% do regime t\approx 0{,}782\\ \mathrm{s}.
(e) Potência no eixo (perdas desprezíveis): \;P_{\text{eixo}}=E_{a}\,I_{a,\text{ss}}=212{,}5\times 400=85.000\\ \mathrm{W}=85\\ \mathrm{kW}.

Exercícios relacionados