Dada uma fonte de tensão senoidal v(t)=\mathrm{V}_{\text {max }} \cdot \cos (\omega t+\theta), assinale V (verdadeiro) ou F (falsa) para as seguintes afirmativas:
( ) Se \omega aumenta, o valor eficaz de v(t) aumenta.
( ) Se \mathrm{V}_{\text {máx }}á aumenta, o valor médio de v(t) aumenta.
( ) Tanto o valor médio quanto eficaz de v(t) dependem do ângulo de fase \theta.
A sequência correta é:
(A) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{F}
(B) \mathrm{F}-\mathrm{F}-\mathrm{V}
(C) \mathrm{F}-\mathrm{V}-\mathrm{F}
(D) \mathrm{V}-\mathrm{F}-\mathrm{V}
(E) V-V-V

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de tensão senoidal
v(t)=\mathrm{V}_{\max}\cdot\cos(\omega t+\theta)
e pede para assinalar Verdadeiro (V) ou Falso (F) para três afirmativas:
(1) Se \omega aumenta, o valor eficaz de v(t) aumenta.
(2) Se \mathrm{V}_{\max} aumenta, o valor médio de v(t) aumenta.
(3) Tanto o valor médio quanto o eficaz de v(t) dependem do ângulo de fase \theta.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de v(t) e as variáveis \mathrm{V}_{\max}, \omega e \theta. A resolução vai avaliar cada afirmativa usando as definições de valor médio e valor eficaz (RMS) para um sinal periódico.

Passo 2

Definição do valor médio (média sobre um período): seja T o período da função; o valor médio de v(t) é
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.
Aqui T é o tempo que demora uma oscilação completa. Para a função \cos(\omega t+\theta) temos
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a pulsação (rad/s). Explicando as variáveis: \mathrm{V}_{\max} é a amplitude máxima, \omega controla a frequência e \theta desloca a fase no tempo.

Passo 3

Cálculo do valor médio de v(t). Usamos a definição com T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
\overline{v}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \mathrm{V}_{\max}\cos(\omega t+\theta)\,dt =\frac{\mathrm{V}_{\max}}{T}\int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt.
Calcule a integral (fazendo a primitiva de \cos):
\int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt=\left.\frac{1}{\omega}\sin(\omega t+\theta)\right|_{0}^{T} =\frac{1}{\omega}\big(\sin(\omega T+\theta)-\sin(\theta)\big).
Como \omega T=\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=2\pi, tem-se \sin(\omega T+\theta)=\sin(2\pi+\theta)=\sin(\theta). Portanto a diferença é zero e
\int_{0}^{T}\cos(\omega t+\theta)\,dt=0,
logo
\overline{v}=0.
Conclusões deste passo: o valor médio é exatamente zero para qualquer \mathrm{V}_{\max}, qualquer \omega (desde que calculemos a média sobre um período) e qualquer \theta. Portanto a afirmativa (2) é falsa. Também mostra que o valor médio não depende de \theta (para média sobre um período).

Passo 4

Definição do valor eficaz (RMS): o valor eficaz de v(t) é
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt}.
Vamos calcular para v(t)=\mathrm{V}_{\max}\cos(\omega t+\theta). Primeiro escrevemos o quadrado:
v^2(t)=\mathrm{V}_{\max}^2\cos^2(\omega t+\theta).
Usamos a identidade trigonométrica \cos^2 x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}. Assim
v^2(t)=\frac{\mathrm{V}_{\max}^2}{2}\big(1+\cos(2\omega t+2\theta)\big).
Agora integramos em um período T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt =\frac{\mathrm{V}_{\max}^2}{2T}\int_{0}^{T}\big(1+\cos(2\omega t+2\theta)\big)\,dt.
A integral do termo constante 1 T. A integral do cosseno é nula porque \cos(2\omega t+2\theta) tem período \pi/\omega e sobre um múltiplo inteiro do seu período (em particular sobre T) integra para zero. Formalmente:
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\theta)\,dt=\left.\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+2\theta)\right|_{0}^{T} =\frac{1}{2\omega}\big(\sin(2\omega T+2\theta)-\sin(2\theta)\big).
Mas 2\omega T=2\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=4\pi, e \sin(4\pi+2\theta)=\sin(2\theta), então a diferença é zero. Portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,dt=\frac{\mathrm{V}_{\max}^2}{2}.
Tomando raiz,
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{\mathrm{V}_{\max}^2}{2}}=\frac{\mathrm{V}_{\max}}{\sqrt{2}}.
Conclusões deste passo: o valor eficaz depende apenas de \mathrm{V}_{\max} e é independente de \omega e de \theta. Portanto a afirmativa (1) é falsa, e a parte da afirmativa (3) relativa ao valor eficaz também é falsa.

Passo 5

Juntando as conclusões:
  • (1) Falso: V_{\mathrm{rms}}=\dfrac{\mathrm{V}_{\max}}{\sqrt{2}} não depende de \omega.
  • (2) Falso: \overline{v}=0 mesmo se \mathrm{V}_{\max} aumenta (média sobre um período).
  • (3) Falso: nem a média nem o RMS dependem de \theta (quando calculados sobre um período).
    Logo a sequência é F — F — F, que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A)

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