Questão 8) A massa específica do mercúrio é 26,3 slug/ \mathrm{ft}^{3}. Determine seu volume específico em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg} e estime seu peso específico em \mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{3} na Terra e na Lua. Considere que a aceleração da gravidade na Lua é de 5,47 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}.
Dados: 1 slug =14,5939 \mathrm{~kg} \quad 1 \mathrm{ft}=0,3048 \mathrm{~m} \quad 1 \mathrm{lbf}=1 \mathrm{slug} . \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes valores do enunciado):
  • Pede:
    1. o volume específico do mercúrio em \mathrm{m^{3}/kg} (isto é, o recíproco da massa específica);
    2. estimar o peso específico do mercúrio em \mathrm{lbf/ft^{3}} na Terra e na Lua.
  • Dados fornecidos:
    \rho = 26{,}3\\ \mathrm{slug/ft^{3}} (massa específica do mercúrio, em unidades imperiais).
    1\\ \mathrm{slug}=14{,}5939\\ \mathrm{kg}.
    1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m}.
    1\\ \mathrm{lbf}=1\\ \mathrm{slug\cdot ft/s^{2}}.
    Aceleração da gravidade na Lua: g_{\text{Lua}}=5{,}47\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Informação adicional usada (valor padrão): aceleração da gravidade na Terra: g_{\text{Terra}}=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}.

Passo 2

Entendendo o que é volume específico e como converter unidades:
  • O volume específico v é o recíproco da massa específica \rho:
v=\frac{1}{\rho}.
Aqui queremos v em \mathrm{m^{3}/kg}. O dado está em \mathrm{slug/ft^{3}}, então primeiro convertemos \rho para \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Conversão direta de \rho para SI:
\rho_{\text{SI}}=\rho_{\text{US}}\times\frac{14{,}5939\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{slug}}\times\frac{1}{(0{,}3048\\ \mathrm{m/ft})^{3}}.
Agora calculamos passo a passo.
Calcular o volume de 1\\ \mathrm{ft^{3}} em \mathrm{m^{3}}:
1\\ \mathrm{ft^{3}}=(0{,}3048\\ \mathrm{m})^{3}=0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}}.
Converter a massa específica numérica para \mathrm{kg/ft^{3}} (intermediário):
26{,}3\\ \mathrm{slug/ft^{3}}\times14{,}5939\\ \mathrm{kg/slug}=383{,}81957\\ \mathrm{kg/ft^{3}}.
Agora dividir pelo volume de 1\\ \mathrm{ft^{3}} em \mathrm{m^{3}} para obter \mathrm{kg/m^{3}}:
\rho_{\text{SI}}=\frac{383{,}81957\\ \mathrm{kg/ft^{3}}}{0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}/ft^{3}}}=13\,554{,}4618\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Interpretação rápida: esse valor está na casa de 1{,}355\times10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}}, compatível com a densidade conhecida do mercúrio.)

Passo 3

Calcular o volume específico em \mathrm{m^{3}/kg}:
Usando v=1/\rho_{\text{SI}},
v=\frac{1}{13\,554{,}4618\\ \mathrm{kg/m^{3}}}=7{,}3758\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Vou arredondar para um número prático com 4 algarismos significativos:
v\approx7{,}376\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 4

Entendendo o peso específico e como calculá-lo nas duas gravidades:
  • Definição: o peso específico \gamma é o peso por unidade de volume. Em termos de massa específica \rho e aceleração da gravidade g,
\gamma=\rho_{\text{massa}}\cdot g.
Aqui devemos prestar atenção às unidades. Como queremos \gamma em \mathrm{lbf/ft^{3}} e já temos \rho em \mathrm{slug/ft^{3}}, podemos usar diretamente a fórmula com g em \mathrm{ft/s^{2}}, lembrando que 1\\ \mathrm{lbf}=1\\ \mathrm{slug\cdot ft/s^{2}}. Assim:
\gamma\\ [\mathrm{lbf/ft^{3}}]=\rho\\ [\mathrm{slug/ft^{3}}]\times g\\ [\mathrm{ft/s^{2}}].
  • Para a Terra:
\gamma_{\text{Terra}}=26{,}3\\ \mathrm{slug/ft^{3}}\times32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
Calcule:
\gamma_{\text{Terra}}=26{,}3\times32{,}174=846{,}1762\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.
Arredondando razoavelmente:
\gamma_{\text{Terra}}\approx846{,}18\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.
  • Para a Lua (usar g_{\text{Lua}}=5{,}47\\ \mathrm{ft/s^{2}}, dado no enunciado):
\gamma_{\text{Lua}}=26{,}3\\ \mathrm{slug/ft^{3}}\times5{,}47\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
Calcule:
\gamma_{\text{Lua}}=26{,}3\times5{,}47=143{,}861\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.
Arredondando:
\gamma_{\text{Lua}}\approx143{,}86\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}.

Passo 5

Checagem rápida (consistência física):
  • A razão \gamma_{\text{Lua}}/\gamma_{\text{Terra}} = g_{\text{Lua}}/g_{\text{Terra}}\approx5{,}47/32{,}174\approx0{,}17, o que faz sentido: na Lua o peso específico é muito menor por causa da gravidade menor.
Força de incentivo: beleza — apesar de parecer muita conversão, o processo é sempre o mesmo: converter unidades, aplicar a fórmula e cuidar das dimensões. Já está quase dominado!

Resposta

v\approx7{,}376\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}
\gamma_{\text{Terra}}\approx846{,}18\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}
\gamma_{\text{Lua}}\approx143{,}86\\ \mathrm{lbf/ft^{3}}

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