Questão 6:

A massa específica seca de uma areia com uma porosidade de 0,387 é 1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine o índice de vazios do solo e a densidade real dos grãos do solo.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • Porosidade: n=0,387.
  • Massa específica seca (densidade seca): \rho_d=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
O que é pedido:
  • Determinar o índice de vazios e.
  • Determinar a densidade real dos grãos do solo (densidade dos sólidos) \rho_s.

Passo 2

Vamos lembrar e entender as definições e relações úteis (explicando passo a passo, como se fosse na prova).
Definições geométricas de volumes:
  • V = volume total do solo (sólidos + vazios).
  • V_s = volume dos sólidos (grãos).
  • V_v = volume dos vazios (poros).
Porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_v}{V}.
Índice de vazios e é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Relação entre n e e: escrevendo V=V_s+V_v temos
n=\frac{V_v}{V_s+V_v}=\frac{V_v/V_s}{1+V_v/V_s}=\frac{e}{1+e}.
Isolando e em função de n (fórmula que usamos muito na prova):
e=\frac{n}{1-n}.
Expliquei a origem dessa fórmula para você decorar e saber derivar na hora.
Agora, densidades e massas:
  • Massa dos sólidos M_s=\rho_s V_s, onde \rho_s é a densidade real dos grãos.
  • Massa específica seca (densidade seca) é a massa de sólidos por unidade de volume total:
\rho_d=\frac{M_s}{V}=\frac{\rho_s V_s}{V}.
Mas V_s/V é simplesmente a fração sólida do volume total, isto é 1-n. Logo:
\rho_d=\rho_s(1-n).
Isolando \rho_s:
\rho_s=\frac{\rho_d}{1-n}.
Essa é a fórmula direta que vamos usar para encontrar \rho_s.

Passo 3

Calcular o índice de vazios e usando \;e=\dfrac{n}{1-n}.
Substituindo n=0,387:
e=\frac{0,387}{1-0,387}=\frac{0,387}{0,613}.
Para dividir sem calculadora: multiplicando numerador e denominador por 1000 temos \dfrac{387}{613}. Fazendo a divisão longa (ou aproximando):
e\approx 0,6313\ldots
Arredondando de forma adequada para a prova, podemos usar três casas significativas:
e\approx 0,631.

Passo 4

Agora calculamos a densidade real dos grãos \rho_s usando \;\rho_s=\dfrac{\rho_d}{1-n}.
Substituindo \rho_d=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e n=0,387:
\rho_s=\frac{1600}{1-0,387}=\frac{1600}{0,613}.

Passo 5

Fazendo a divisão para obter \rho_s:
Multiplicando numerador e denominador por 1000 \dfrac{1\,600\,000}{613}. Divisão longa mostra:
613\times 2610=1\,599\,930\quad\text{(resto }70\text{)},
portanto
\rho_s=2610+\frac{70}{613}\approx 2610,114\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Arredondando para trê s dígitos significativos usados antes:
\rho_s\approx 2610\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 6

Cheque rápido de sanidade (útil na prova): a densidade dos grãos de muitos solos silicosos fica em torno de 2600 2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. O valor obtido \approx 2610\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 está nessa faixa, então faz sentido físico — bom sinal.
Resumo das fórmulas úteis para a prova (decore):
e=\frac{n}{1-n},\qquad \rho_s=\frac{\rho_d}{1-n}.

Resposta

e\approx 0,631
\rho_s\approx 2610\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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