Questão 5:

Para uma amostra de areia argilosa de origem aluvial foram obtidos \mathrm{Ds}=2,72, \mathrm{e}=0,75 e \mathrm{S}=50 \%.
a) Umidade (w).
b) Peso específico ( \gamma ).
c) Peso específico saturado ( \gamma sat).
d) Peso específico submerso ( \gamma sub).
e) Peso específico aparente seco (\gamma \mathrm{d}).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Ds (gravidade específica dos sólidos) =\,2,72.
  • Void ratio (relação vazios/solos) e=\,0,75.
  • Grau de saturação S=50\%, ou seja S=\,0,5.
As perguntas:
(a) Umidade w.
(b) Peso específico (peso específico total ou úmido) \gamma.
(c) Peso específico saturado \gamma_{\text{sat}}.
(d) Peso específico submerso \gamma_{\text{sub}}.
(e) Peso específico aparente seco \gamma_{d}.

Passo 2

Definição e fórmula da umidade w e sua dedução (aula rápida):
  • Umidade gravimétrica w é a razão entre massa de água e massa de sólidos secos do solo: \;w=\dfrac{M_w}{M_s}.
  • Usando volumes: M_s = V_s\,\rho_s e M_w = V_w\,\rho_w. Aqui \rho_s é a massa específica dos sólidos, \rho_w a da água, V_s o volume de sólidos e V_w o volume de água.
  • Pela definição do grau de saturação S=\dfrac{V_w}{V_v} e do void ratio e=\dfrac{V_v}{V_s}, tem-se V_w = S\,V_v = S\,e\,V_s.
  • Substituindo em w:
w=\dfrac{M_w}{M_s}=\dfrac{V_w\,\rho_w}{V_s\,\rho_s} =\dfrac{S\,e\,V_s\,\rho_w}{V_s\,\rho_s} =\dfrac{S\,e}{\dfrac{\rho_s}{\rho_w}}.
  • Como \dfrac{\rho_s}{\rho_w}=G_s (gravidade específica dos sólidos), obtemos a fórmula prática:
w=\dfrac{S\,e}{G_s}.
Agora aplicando os números (peguei S, e e G_s dos dados):
w=\dfrac{0,5\cdot 0,75}{2,72}=\dfrac{0,375}{2,72}=0,1378676\ldots
Arredondando razoavelmente:
w\approx 0,1379\quad\text{(ou seja }13,79\%\text{).}

Passo 3

Peso específico total (úmido) \gamma — fórmula, dedução e cálculo:
  • Definição: \gamma é o peso por unidade de volume do solo úmido. Pode-se trabalhar com densidades e usar a unidade usual \gamma_w para a água. Vou tomar \gamma_w=9,81\\ \text{kN/m}^3 (peso específico da água).
  • Massa total por volume total: massa de sólidos M_s=V_s\,\rho_s mais massa de água M_w=V_w\,\rho_w. Volume total V=V_s+V_v=V_s(1+e). Logo a densidade total \rho é
\rho=\dfrac{M_s+M_w}{V}=\dfrac{V_s(\rho_s+S\,e\,\rho_w)}{V_s(1+e)} =\rho_w\,\dfrac{G_s+S\,e}{1+e}.
Multiplicando por \gamma_w=\rho_w g obtemos
\gamma=\gamma_w\cdot\dfrac{G_s+S\,e}{1+e}.
  • Substituindo os valores ( G_s=2,72, S=0,5, e=0,75, \gamma_w=9,81\\ \text{kN/m}^3):
G_s+S e=2,72+0,5\cdot0,75=2,72+0,375=3,095,
1+e=1+0,75=1,75,
\gamma=9,81\cdot\dfrac{3,095}{1,75}=9,81\cdot1,7685714\ldots=17,351\ldots
Arredondando:
\gamma\approx 17,35\\ \text{kN/m}^3.

Passo 4

Peso específico saturado \gamma_{\text{sat}}:
  • Para solo saturado S=1. Usamos a mesma fórmula do passo anterior com S=1:
\gamma_{\text{sat}}=\gamma_w\cdot\dfrac{G_s+e}{1+e}.
  • Substituindo G_s=2,72 e e=0,75:
G_s+e=2,72+0,75=3,47,
\gamma_{\text{sat}}=9,81\cdot\dfrac{3,47}{1,75}=9,81\cdot1,9828571\ldots=19,455\ldots
Arredondando:
\gamma_{\text{sat}}\approx 19,46\\ \text{kN/m}^3.

Passo 5

Peso específico submerso \gamma_{\text{sub}} (ou peso específico efetivo do solo saturado):
  • Definição prática: \gamma_{\text{sub}}=\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w. É o peso específico aparente quando o solo está submerso (flutuação pela água).
  • Calculando:
\gamma_{\text{sub}}=19,455\ldots-9,81=9,645\ldots
Arredondando:
\gamma_{\text{sub}}\approx 9,65\\ \text{kN/m}^3.

Passo 6

Peso específico seco \gamma_{d}:
  • Definição: \gamma_{d} é o peso por volume quando o solo está seco (sem água). Pode-se deduzir diretamente:
\gamma_{d}=\gamma_w\cdot\dfrac{G_s}{1+e}.
(derivação rápida: coloque S=0 na expressão geral ou use M_s/V).
  • Substituindo G_s=2,72 e 1+e=1,75:
\gamma_{d}=9,81\cdot\dfrac{2,72}{1,75}=9,81\cdot1,5542857\ldots=15,252\ldots
Arredondando:
\gamma_{d}\approx 15,25\\ \text{kN/m}^3.
  • Checagem rápida (consistência): também vale a relação \gamma_{d}=\dfrac{\gamma}{1+w}. Usando \gamma\approx 17,35 e w\approx0,1379:
\gamma_{d}\approx\dfrac{17,35}{1+0,1379}=\dfrac{17,35}{1,1379}\approx15,25\\ \text{kN/m}^3,
o que confirma o cálculo.

Resposta

(a) w=0,1379 (13,79%)
(b) \gamma=17,35\\ \text{kN/m}^3
(c) \gamma_{\text{sat}}=19,46\\ \text{kN/m}^3
(d) \gamma_{\text{sub}}=9,65\\ \text{kN/m}^3
(e) \gamma_{d}=15,25\\ \text{kN/m}^3

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