no ponto (3,0), expressa como um produto segundo a regra da cadeia com matrizes. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
\begin{aligned} &k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\\\ &h,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{(funções de uma variável)},\\\ &\psi,\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{(funções de uma variável)}. \end{aligned}
Passo 2
Uma maneira clara de aplicar a cadeia é decompor k em duas funções:
Aqui S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2.
Passo 3
Lembrete didático: se H:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é diferenciável, a jacobiana D H é uma matriz m\times n cujas entradas são as derivadas parciais. Em particular:
D S(x,y)=\begin{pmatrix}\psi'(x) & \varphi'(y)\end{pmatrix},
que é uma matriz de dimensão 1\times 2.
Passo 6
Regra da cadeia em forma matricial: para k=F\circ S,
D k(x,y)=D F\big(S(x,y)\big)\;D S(x,y).
Verifique as dimensões: D F é 2\times 1 e D S é 1\times 2, então o produto é 2\times 2, que é a dimensão correta para D k (já que k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2).
Passo 7
Façamos o produto de forma simbólica. Defina u=\psi(x)+\varphi(y)=S(x,y). Então
D F\big(S(x,y)\big)=\begin{pmatrix}h'(u)\\[4pt] g'(u)\end{pmatrix}, \qquad D S(x,y)=\begin{pmatrix}\psi'(x) & \varphi'(y)\end{pmatrix}.
O produto (vetor coluna vezes vetor linha) é a matriz 2\times 2
D k(x,y)=\begin{pmatrix} h'(u)\,\psi'(x) & h'(u)\,\varphi'(y)\\[6pt] g'(u)\,\psi'(x) & g'(u)\,\varphi'(y) \end{pmatrix}.
Este é um produto exterior: cada linha é a derivada de F multiplicada pela linha de D S.]
Passo 8
Agora avalie em (x,y)=(3,0). Primeiro calcule u_0=\psi(3)+\varphi(0). Substituindo x=3, y=0 e u=u_0 na matriz anterior obtemos
D k(3,0)=\begin{pmatrix} h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0)\\[6pt] g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0) \end{pmatrix}.]
Passo 9
Pequena checagem concreta (exemplo para fixar a ideia): se \psi(x)=x, \varphi(y)=y, h(t)=t^2, g(t)=\sin t, então u_0=3+0=3, h'(t)=2t, g'(t)=\cos t, \psi'(3)=1, \varphi'(0)=1. A matriz fica