Questão 6 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Pela regra da cadeia com matrizes, podemos escrever a matriz jacobiana de
k(x, y)=(h(\psi(x)+\varphi(y)), g(\psi(x)+\varphi(y)))
no ponto (3,0) como o produto
[D k(3,0)]=[\square]

Passo 1

O enunciado pede a matriz jacobiana de
k(x,y) = \big(h(\psi(x)+\varphi(y)),\; g(\psi(x)+\varphi(y))\big)
no ponto (3,0), expressa como um produto segundo a regra da cadeia com matrizes. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
\begin{aligned} &k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\\\ &h,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{(funções de uma variável)},\\\ &\psi,\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad\text{(funções de uma variável)}. \end{aligned}çõáçõá

Passo 2

Uma maneira clara de aplicar a cadeia é decompor k em duas funções:
S(x,y)=\psi(x)+\varphi(y)\quad\text{e}\quad F(t)=(h(t),\,g(t)).
Então
k(x,y)=F\big(S(x,y)\big)=F\circ S.
Aqui S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2.

Passo 3

Lembrete didático: se H:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é diferenciável, a jacobiana D H é uma matriz m\times n cujas entradas são as derivadas parciais. Em particular:
D H = \begin{pmatrix} \frac{\partial H_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial H_1}{\partial x_n}\\[4pt] \vdots & & \vdots\\[4pt] \frac{\partial H_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial H_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}.
Aplicando isso aos nossos F e S iremos calcular D F (matriz 2\times 1) e D S (matriz 1\times 2).]

Passo 4

Calcule D F em um ponto escalar t. Como F(t)=(h(t),g(t)), as derivadas são simples:
D F(t)=\begin{pmatrix} h'(t)\\[4pt] g'(t)\end{pmatrix},
que é uma matriz de dimensão 2\times 1. Aqui h'(t) e g'(t) são as derivadas usuais de h e g em t.]

Passo 5

Calcule D S no ponto (x,y). Como S(x,y)=\psi(x)+\varphi(y), as derivadas parciais são
\frac{\partial S}{\partial x}=\psi'(x),\qquad \frac{\partial S}{\partial y}=\varphi'(y).
Portanto
D S(x,y)=\begin{pmatrix}\psi'(x) & \varphi'(y)\end{pmatrix},
que é uma matriz de dimensão 1\times 2.

Passo 6

Regra da cadeia em forma matricial: para k=F\circ S,
D k(x,y)=D F\big(S(x,y)\big)\;D S(x,y).
Verifique as dimensões: D F é 2\times 1 e D S é 1\times 2, então o produto é 2\times 2, que é a dimensão correta para D k (já que k:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2).

Passo 7

Façamos o produto de forma simbólica. Defina u=\psi(x)+\varphi(y)=S(x,y). Então
D F\big(S(x,y)\big)=\begin{pmatrix}h'(u)\\[4pt] g'(u)\end{pmatrix}, \qquad D S(x,y)=\begin{pmatrix}\psi'(x) & \varphi'(y)\end{pmatrix}.
O produto (vetor coluna vezes vetor linha) é a matriz 2\times 2
D k(x,y)=\begin{pmatrix} h'(u)\,\psi'(x) & h'(u)\,\varphi'(y)\\[6pt] g'(u)\,\psi'(x) & g'(u)\,\varphi'(y) \end{pmatrix}.
Este é um produto exterior: cada linha é a derivada de F multiplicada pela linha de D S.]

Passo 8

Agora avalie em (x,y)=(3,0). Primeiro calcule u_0=\psi(3)+\varphi(0). Substituindo x=3, y=0 e u=u_0 na matriz anterior obtemos
D k(3,0)=\begin{pmatrix} h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0)\\[6pt] g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0) \end{pmatrix}.]

Passo 9

Pequena checagem concreta (exemplo para fixar a ideia): se \psi(x)=x, \varphi(y)=y, h(t)=t^2, g(t)=\sin t, então u_0=3+0=3, h'(t)=2t, g'(t)=\cos t, \psi'(3)=1, \varphi'(0)=1. A matriz fica
\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]\cos 3 & \cos 3\end{pmatrix},
o que mostra a estrutura de produto exterior já encontrada.]

Resposta

\begin{pmatrix} h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & h'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0)\\[6pt] g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\psi'(3) & g'\big(\psi(3)+\varphi(0)\big)\,\varphi'(0) \end{pmatrix}]

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