Questão 9 (
ponto): Sejam
pontos não colineares. Um vetor normal ao plano que contém esses três pontos é dado por:
(a)
(b)
(c) NOA
(d)
(e)
(a)
(b)
(c) NOA
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz: sejam
pontos não colineares. Pede-se qual das alternativas é um vetor normal ao plano que contém esses três pontos. Informações relevantes dadas:
- Os pontos
não são colineares, portanto os vetores e são vetores não colineares contidos no plano formado por . - As alternativas são:
(a)
(b)
(c) NOA (nenhuma das alternativas)
(d)
(e)
Passo 2
O que significa "vetor normal ao plano que contém
"?
- Um vetor normal deve ser perpendicular a todo vetor que esteja no plano. Em particular, é suficiente checar perpendicularidade a dois vetores não colineares do plano.
- Vetores do plano fáceis de escrever são
e (são vetores entre os pontos). Como os pontos não são colineares, esses dois vetores não são múltiplos um do outro. - Uma construção padrão de um vetor perpendicular a ambos é o produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano:
. Propriedades do produto vetorial que vamos usar: - Para quaisquer vetores
, o vetor é perpendicular a e a . Ou seja, e . - Multiplicar por um escalar não altera a direção, apenas a magnitude; assim
também é um vetor normal para qualquer .
- Para quaisquer vetores
Passo 3
Analisando as alternativas que são produtos escalares (dot):
- A alternativa (a) é
. O produto escalar produz um número (escalares), não um vetor. Portanto (a) não pode ser um vetor normal. - A alternativa (d) é
. Novamente é um escalar (produto escalar multiplicado por ). Logo (d) também não pode ser um vetor normal.
Conclusão parcial: (a) e (d) estão automaticamente fora.
Passo 4
Analisando a alternativa (e):
.
- Aqui temos o produto vetorial de
e . Note que é um múltiplo (com sinal) de ; precisamente . Portanto e são dois vetores do plano. - Pelo item do Passo 2,
é perpendicular a e a ; logo é perpendicular a dois vetores independentes do plano e, portanto, é um vetor normal ao plano. - Multiplicando por
apenas escala o vetor; isto não muda o fato de ser normal.
Conclusão: (e) fornece um vetor normal válido.
Passo 5
Analisando a alternativa (b):
.
- Aqui o primeiro fator é o vetor posição
(vetor do ponto até a origem), não necessariamente um vetor que esteja no plano formado por . O produto vetorial só garante perpendicularidade quando os dois fatores estão relacionados aos vetores do plano. Como pode não pertencer ao subespaço gerado por e (isto depende da posição da origem), não é garantidamente perpendicular ao plano. - Para tornar isso concreto, apresento um contraexemplo numérico (mostrando que geralmente falha): escolha
Esses três pontos estão no plano , portanto um vetor normal ao plano é, por exemplo, . Agora calcule :
Verifique a perpendicularidade deste vetor com
:
Como o produto escalar não é zero,
não é perpendicular ao vetor
que pertence ao plano; portanto não é normal ao plano.
Conclusão: (b) não é uma garantia de vetor normal (pode falhar), então (b) está fora.
Conclusão: (b) não é uma garantia de vetor normal (pode falhar), então (b) está fora.
Passo 6
Juntando as conclusões:
- (a) e (d) são escalares, não vetores → impossível.
- (b) é um produto vetorial envolvendo a posição
e não garante perpendicularidade ao plano → contraexemplo mostrou que falha. - (e) é um múltiplo escalar do produto vetorial de dois vetores do próprio plano
e , portanto é sempre perpendicular ao plano → correto.
Resposta
(e)