Questão 9 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Sejam a, b, c \in \mathbb{R}^{3} pontos não colineares. Um vetor normal ao plano que contém esses três pontos é dado por:
(a) c \cdot(b-a)
(b) a \times(c-b)
(c) NOA
(d) 2(a-b) \cdot(b-c)
(e) 3(a-b) \times(c-a)

Passo 1

O enunciado diz: sejam a,b,c\in\mathbb{R}^3 pontos não colineares. Pede-se qual das alternativas é um vetor normal ao plano que contém esses três pontos. Informações relevantes dadas:
  • Os pontos a,b,c não são colineares, portanto os vetores (b-a) e (c-a) são vetores não colineares contidos no plano formado por a,b,c.
  • As alternativas são:
    (a) c\cdot(b-a)
    (b) a\times(c-b)
    (c) NOA (nenhuma das alternativas)
    (d) 2(a-b)\cdot(b-c)
    (e) 3(a-b)\times(c-a)

Passo 2

O que significa "vetor normal ao plano que contém a,b,c"?
  • Um vetor normal deve ser perpendicular a todo vetor que esteja no plano. Em particular, é suficiente checar perpendicularidade a dois vetores não colineares do plano.
  • Vetores do plano fáceis de escrever são (b-a) e (c-a) (são vetores entre os pontos). Como os pontos não são colineares, esses dois vetores não são múltiplos um do outro.
  • Uma construção padrão de um vetor perpendicular a ambos é o produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano: (b-a)\times(c-a). Propriedades do produto vetorial que vamos usar:
    • Para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3, o vetor u\times v é perpendicular a u e a v. Ou seja, (u\times v)\cdot u=0 e (u\times v)\cdot v=0.
    • Multiplicar por um escalar não altera a direção, apenas a magnitude; assim k(u\times v) também é um vetor normal para qualquer k\neq 0.

Passo 3

Analisando as alternativas que são produtos escalares (dot):
  • A alternativa (a) é c\cdot(b-a). O produto escalar produz um número (escalares), não um vetor. Portanto (a) não pode ser um vetor normal.
  • A alternativa (d) é 2(a-b)\cdot(b-c). Novamente é um escalar (produto escalar multiplicado por 2). Logo (d) também não pode ser um vetor normal.
    Conclusão parcial: (a) e (d) estão automaticamente fora.

Passo 4

Analisando a alternativa (e): 3(a-b)\times(c-a).
  • Aqui temos o produto vetorial de (a-b) e (c-a). Note que (a-b) é um múltiplo (com sinal) de (b-a); precisamente (a-b)=-(b-a). Portanto (a-b) e (c-a) são dois vetores do plano.
  • Pelo item do Passo 2, (a-b)\times(c-a) é perpendicular a (a-b) e a (c-a); logo é perpendicular a dois vetores independentes do plano e, portanto, é um vetor normal ao plano.
  • Multiplicando por 3 apenas escala o vetor; isto não muda o fato de ser normal.
    Conclusão: (e) fornece um vetor normal válido.

Passo 5

Analisando a alternativa (b): a\times(c-b).
  • Aqui o primeiro fator é o vetor posição a (vetor do ponto a até a origem), não necessariamente um vetor que esteja no plano formado por a,b,c. O produto vetorial só garante perpendicularidade quando os dois fatores estão relacionados aos vetores do plano. Como a pode não pertencer ao subespaço gerado por (b-a) e (c-a) (isto depende da posição da origem), a\times(c-b) não é garantidamente perpendicular ao plano.
  • Para tornar isso concreto, apresento um contraexemplo numérico (mostrando que geralmente falha): escolha a=(1,0,0),\quad b=(1,1,0),\quad c=(1,0,1).Esses três pontos estão no plano x=1, portanto um vetor normal ao plano é, por exemplo, (1,0,0). Agora calcule a\times(c-b): c-b=(0,-1,1),
a\times(c-b)=(1,0,0)\times(0,-1,1)=(0,-1,-1).
Verifique a perpendicularidade deste vetor com (b-a):
b-a=(0,1,0),
(0,-1,-1)\cdot(0,1,0)=-1\neq 0.
Como o produto escalar não é zero, a\times(c-b) não é perpendicular ao vetor (b-a) que pertence ao plano; portanto não é normal ao plano.
Conclusão: (b) não é uma garantia de vetor normal (pode falhar), então (b) está fora.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • (a) e (d) são escalares, não vetores → impossível.
  • (b) é um produto vetorial envolvendo a posição a e não garante perpendicularidade ao plano → contraexemplo mostrou que falha.
  • (e) é um múltiplo escalar do produto vetorial de dois vetores do próprio plano (a-b) e (c-a), portanto é sempre perpendicular ao plano → correto.

Resposta

(e)

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