Questão 2: (
pontos). Calcule os seguintes limites, tal que
e
pertencem ao conjunto dos números reais (
), com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite lateral pela direita
Informações fornecidas no enunciado (que eu anoto aqui):
e
são números reais com
e
. Observação: essas condições sobre
e
não são necessárias para este limite específico; o que importa é o comportamento da função quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Explicando a ideia do que significa um limite que tende a
pela direita: dizer que
significa que, para qualquer número grande
, existe
tal que, sempre que
(ou seja,
está à direita de
e suficientemente perto), vale
. Em palavras simples: ao aproximar
de
vindo pela direita,
cresce sem limite.
Passo 3
Faço uma manipulação algébrica simples para separar a parte que vai explodir:
Essa escrita deixa claro que o comportamento da fração quando
é controlado pelo termo
.
Passo 4
Analiso o sinal e o tamanho de
quando
. Se
e
se aproxima de
, então
é um número positivo muito pequeno (tende a
). Dividir o número positivo
por um positivo que tende a zero produz um valor que tende a
. Formalizando no esquema "para todo
existe
":
seja . Escolha
. Então, para qualquer
com
(ou seja,
), tem-se
seja
Portanto
, e como
é arbitrariamente grande, concluímos que
(e então
) diverge para
quando
.
Passo 5
Conclusão: o limite lateral pela direita é
. Isso também indica que a função tem uma assíntota vertical em
(com crescimento para
vindo da direita).