Questão 2: ( \mathbf{4 , 0} pontos). Calcule os seguintes limites, tal que a e m pertencem ao conjunto dos números reais ( R ), com a>0 e m \neq 0.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral pela direita
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{x}{x-3}.
Informações fornecidas no enunciado (que eu anoto aqui): a e m são números reais com a>0 e m\neq 0. Observação: essas condições sobre a e m não são necessárias para este limite específico; o que importa é o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela direita.

Passo 2

Explicando a ideia do que significa um limite que tende a +\infty pela direita: dizer que
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=+\infty
significa que, para qualquer número grande M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x-3<\delta (ou seja, x está à direita de 3 e suficientemente perto), vale f(x)>M. Em palavras simples: ao aproximar x de 3 vindo pela direita, f(x) cresce sem limite.

Passo 3

Faço uma manipulação algébrica simples para separar a parte que vai explodir:
\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}.
Essa escrita deixa claro que o comportamento da fração quando x\to3^{+} é controlado pelo termo \dfrac{3}{x-3}.

Passo 4

Analiso o sinal e o tamanho de \dfrac{3}{x-3} quando x\to 3^{+}. Se x>3 e x se aproxima de 3, então x-3 é um número positivo muito pequeno (tende a 0^{+}). Dividir o número positivo 3 por um positivo que tende a zero produz um valor que tende a +\infty. Formalizando no esquema "para todo M>0 existe \delta>0":
seja M>0. Escolha \delta=\dfrac{3}{M}. Então, para qualquer x com 0<x-3<\delta (ou seja, 3<x<3+\delta), tem-se
\frac{3}{x-3}>\frac{3}{\delta}=M.
Portanto 1+\dfrac{3}{x-3}>1+M, e como M é arbitrariamente grande, concluímos que 1+\dfrac{3}{x-3} (e então \dfrac{x}{x-3}) diverge para +\infty quando x\to3^{+}.

Passo 5

Conclusão: o limite lateral pela direita é +\infty. Isso também indica que a função tem uma assíntota vertical em x=3 (com crescimento para +\infty vindo da direita).

Resposta

+\infty

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