Questão 2: ( \mathbf{4 , 0} pontos). Calcule os seguintes limites, tal que a e m pertencem ao conjunto dos números reais ( R ), com a>0 e m \neq 0.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a \infty da função
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}.
Informações fornecidas no enunciado: a e m são números reais com a>0 e m\neq 0, mas essas variáveis não aparecem na expressão do limite que devemos calcular (logo são irrelevantes para este exercício). A pergunta é única: encontrar
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}.

Passo 2

Estratégia: para limites de funções racionais (frações de polinômios) quando x\to\infty, uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pelo maior grau de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso evidencia quais termos dominam quando x cresce e facilita calcular o limite de cada parcela.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos:
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2x}{x^{2}}=1+\frac{2}{x}.

Passo 4

Agora usamos propriedades de limites:
  • A soma converge para a soma dos limites (quando ambos existem).
  • O limite de uma constante é a própria constante, então
\lim_{x\to\infty}1=1.
  • Resta calcular \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}. Como \dfrac{2}{x}=2\cdot\dfrac{1}{x}, basta mostrar que \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0. Uma prova simples: dado \varepsilon>0, escolha M=\max\{1,\tfrac{1}{\varepsilon}\}. Para todo x>M tem-se 0<\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{M}\le\varepsilon, logo \left|\dfrac{1}{x}-0\right|<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 e, por linearidade do limite,
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=2\cdot 0=0.

Passo 5

Somando os resultados parciais:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}1+\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=1+0=1.

Resposta

1

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