QUESTÃO 5

Uma metalúrgica do Distrito Industrial de São Luís opera uma prensa estampadora de 250 t em três turnos para a produção de gabinetes metálicos destinados à montagem de quadros de distribuição elétrica. Após relatos do operador de queda gradual na velocidade de retorno do martelete entre golpes, a engenharia de manutenção desconfia de degradação por fadiga ou afrouxamento da mola de retorno. Antes de autorizar a substituição da mola (cujo lead time é de duas semanas), é necessário verificar analiticamente as condições de tensão e deflexão da mola atualmente instalada - fabricada em aço SAE 1065\left(G=78400 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}\right) com d_{m}=60 \mathrm{~mm}, d_{a}=6 \mathrm{~mm}, n_{t}=14 espiras totais, extremidades esquadrejadas e operando sob carga axial F=400 \mathrm{~N}.
Determine:
a) Índice de curvatura C, fator de Wahl k_{w} e tensão de cisalhamento \tau;
b) Deflexão total \delta e constante elástica k;
c) Carga máxima admissível para \tau_{a d m}= 610 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} (serviço médio);
d) Ângulo de inclinação da espira \lambda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • A mola é de aço SAE 1065 com módulo de cisalhamento G=78400\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
  • Diâmetro médio da espira: d_{m}=60\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro do fio: d_{a}=6\\ \mathrm{mm}.
  • Número total de espiras: n_{t}=14 (extremidades esquadrejadas).
  • Carga axial de serviço: F=400\\ \mathrm{N}.
  • Tensão admissível para (c): \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 (serviço médio).
O enunciado pede:
a) Índice de curvatura C, fator de Wahl k_{w} e tensão de cisalhamento \tau na mola sob F=400\\ \mathrm{N}.
b) Deflexão total \delta e constante elástica k da mola (usando as espiras ativas apropriadas).
c) Carga máxima admissível F_{\max} para \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
d) Ângulo de inclinação da espira \lambda (usar a definição usual da mola helicoidal).
Observação importante (usada depois): o enunciado não dá passo ( p) ou comprimento livre da mola; para calcular \lambda vou assumir que a mola é “próxima” (close-coiled), isto é, passo aproximadamente igual ao diâmetro do fio, p\approx d_{a}. Essa é uma suposição padrão quando não se fornece comprimento livre/passo. Vou explicitar isso no passo correspondente.

Passo 2

Índice de curvatura C.
O índice de curvatura (ou índice de mola) é a razão entre o diâmetro médio da espira e o diâmetro do fio:
C=\frac{d_{m}}{d_{a}}.
Significado: C indica quão “grosso” é o fio em relação ao diâmetro da espira; influencia concentrações de tensão e fórmulas empíricas (como o fator de Wahl).
Substituindo os dados:
C=\frac{60}{6}=10.

Passo 3

Fator de Wahl k_{w}.
O fator de Wahl corrige a tensão de cisalhamento calculada pela fórmula básica, levando em conta a curvatura da espira e o efeito de flexão local causado pela tensão de torção e pela abertura de fenda. Uma expressão amplamente usada é:
k_{w}=\frac{4C-1}{4C-4}+\frac{0{,}615}{C},
onde C é o índice de curvatura.
Com C=10:
\frac{4C-1}{4C-4}=\frac{40-1}{40-4}=\frac{39}{36}=1{,}083333\ldots
\frac{0{,}615}{C}=\frac{0{,}615}{10}=0{,}0615
Logo
k_{w}=1{,}083333\ldots+0{,}0615=1{,}144833\ldots
Arredondando convenientemente:
k_{w}\approx1{,}1448.

Passo 4

Tensão de cisalhamento \tau sob carga F.
Fórmula básica (antes da correção de Wahl) para tensão de cisalhamento média na seção do fio devido ao momento torsor gerado pela carga axial na espira:
\tau_{\text{média}}=\frac{8 F d_{m}}{\pi d_{a}^{3}}.é
Aplicando o fator de Wahl para considerar concentração de tensão:
\tau = k_{w}\cdot\frac{8 F d_{m}}{\pi d_{a}^{3}}.
Agora calculamos passo a passo com os números dados:
  • 8 F d_{m}=8\cdot400\cdot60=192000.
  • d_{a}^{3}=6^{3}=216.
  • \pi d_{a}^{3}=\pi\cdot216\approx678{,}584.
Logo a parte sem Wahl:
\frac{8 F d_{m}}{\pi d_{a}^{3}}=\frac{192000}{678{,}584}\approx282{,}997\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Aplicando k_{w}:
\tau \approx1{,}144833\cdot282{,}997\approx323{,}9\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Portanto:
\tau\approx324\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Interpretação curta: sob 400\\ \mathrm{N} a tensão de cisalhamento no fio é cerca de 324\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}; isso permite comparar com limites do material para decidir segurança.

Passo 5

Deflexão total \delta e constante elástica k.
Fórmula da deflexão axial de uma mola helicoidal de seção circular:
\delta=\frac{8 F d_{m}^{3} N_{a}}{G d_{a}^{4}},
onde:
  • F é a carga axial,
  • d_{m} é o diâmetro médio da espira,
  • N_{a} é o número de espiras ativas,
  • G é o módulo de cisalhamento,
  • d_{a} é o diâmetro do fio.
Para extremidades esquadrejadas e apoiadas, o número de espiras ativas é o total menos 2 (duas espiras finais não são ativas):
N_{a}=n_{t}-2=14-2=12.
Substituindo dados:
  • d_{m}^{3}=60^{3}=216000.
  • d_{a}^{4}=6^{4}=1296.
  • Numerador: 8\cdot F\cdot d_{m}^{3}\cdot N_{a}=8\cdot400\cdot216000\cdot12.
    Vamos calcular por partes:
8\cdot400=3200,
3200\cdot216000=691{,}200{,}000,
691{,}200{,}000\cdot12=8{,}294{,}400{,}000.
Denominador:
G d_{a}^{4}=78400\cdot1296=101{,}606{,}400.
Logo
\delta=\frac{8{,}294{,}400{,}000}{101{,}606{,}400}\approx81{,}65\\ \mathrm{mm}.
A constante elástica (rigidez da mola) é
k=\frac{F}{\delta}=\frac{400}{81{,}65}\approx4{,}90\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}.
Comentários didáticos rápidos: a deflexão é proporcional ao número de espiras ativas e ao cubo do diâmetro médio d_{m}^3, e inversamente proporcional a G d_{a}^4. Isso mostra por que fios mais grossos (maior d_{a}) deixam a mola muito mais rígida.

Passo 6

Carga máxima admissível F_{\max} para \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
Usamos a fórmula inversa da tensão:
\tau_{adm}=k_{w}\cdot\frac{8 F_{\max} d_{m}}{\pi d_{a}^{3}} \quad\Longrightarrow\quad F_{\max}=\frac{\tau_{adm}\,\pi d_{a}^{3}}{8 d_{m} k_{w}}.
Substituindo valores:
  • \pi d_{a}^{3}=\pi\cdot216\approx678{,}584.
  • Numerador: \tau_{adm}\,\pi d_{a}^{3}=610\cdot678{,}584\approx413{,}936{,}240.
  • Denominador: 8 d_{m} k_{w}=8\cdot60\cdot1{,}144833\approx549{,}52.
Então
F_{\max}\approx\frac{413{,}936{,}240}{549{,}52}\approx753{,}5\\ \mathrm{N}.
Interpretação: para o critério de tensão de cisalhamento admissível dado, a mola poderia suportar até cerca de 753{,}5\\ \mathrm{N} antes de atingir \tau_{adm}.

Passo 7

Ângulo de inclinação da espira \lambda.
Definição: a inclinação da espira (ângulo do fio em relação ao plano normal ao eixo) é dada por
\tan\lambda=\frac{p}{\pi d_{m}},
onde p é o passo axial entre espiras consecutivas. O enunciado não fornece o passo nem o comprimento livre da mola. Uma hipótese padrão para molas “próximas” (close-coiled) é tomar o passo aproximadamente igual ao diâmetro do fio:
p\approx d_{a}=6\\ \mathrm{mm}.
(Justificativa resumida: em molas de compressão próximas as espiras ficam praticamente encostadas no estado livre, e o passo costuma ser da ordem do diâmetro do fio; sem outro dado, essa é a suposição usual em problemas didáticos.)
Portanto:
\tan\lambda=\frac{6}{\pi\cdot60}=\frac{6}{188{,}495559\ldots}\approx0{,}03183099.
\lambda=\arctan(0{,}03183099)\approx1{,}823^\circ.
Observação: se o problema já desse o passo ou o comprimento livre, usar esse passo. Aqui usamos a hipótese indicada.

Resposta

a) C=10, \;k_{w}\approx1{,}1448, \;\tau\approx324\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2
b) \delta\approx81{,}65\\ \mathrm{mm}, \;k\approx4{,}90\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}
c) F_{\max}\approx753{,}5\\ \mathrm{N}
d) \lambda\approx1{,}82^\circ

Exercícios relacionados