QUESTÃO 6

O setor de engenharia de uma fábrica de garras pneumáticas em São Luís recebeu encomenda de uma envasadora de água mineral local com produção nominal de 12000 garrafas / \mathrm{h}. As garras devem realizar ciclos de fechamento e abertura a cada 0,3 \mathrm{~s} sem fadiga prematura da mola de retorno - a especificação contratual exige vida útil mínima de 5 anos em operação contínua, o que equivale a aproximadamente 5 \times 10^{8} ciclos. A nova mola helicoidal deve apresentar constante elástica k=1,8 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e sofrer deflexão de 30 mm sob carga de operação. Material: SAE 1065 ( G=78400 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} ), tensão admissível em serviço médio \tau_{a d m}=610 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}, índice C=8 e extremidades esquadrejadas e esmerilhadas.
Determine:
a) O diâmetro do arame;
b) O diâmetro médio da mola;
c) O comprimento da mola quando totalmente comprimida.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para ficar tudo claro:
  • Dados do enunciado:
    • Produção e vida útil fornecidas (servem para checar fadiga), mas o enunciado já nos deu a exigência de vida: \approx 5\times10^{8} ciclos.
    • Constante elástica da mola: k = 1{,}8\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}.
    • Deflexão (compressão operacional): \delta = 30\\ \mathrm{mm}.
    • Material: SAE 1065 com módulo de cisalhamento G = 78400\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • Tensão admissível em serviço médio (critério de projeto): \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
    • Índice da mola: C = \dfrac{D}{d} = 8 (dado).
    • Extremidades: esquadrejadas e esmerilhadas (isto implica que o número de espiras inativas nas extremidades é 2).
  • O que é pedido:
    (a) o diâmetro do arame d (em \mathrm{mm});
    (b) o diâmetro médio da mola D (em \mathrm{mm});
    (c) o comprimento da mola quando totalmente comprimida (altura sólida) L_s (em \mathrm{mm}).
Observação sobre unidades que vou usar: passo a trabalhar em \mathrm{N} e \mathrm{mm}. Para isso converto a constante elástica:
k = 1{,}8\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m} = 1{,}8\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}.
A força operacional F que produz a deflexão \delta é dada por F=k\delta. A partir de F aplico expressão de tensão de cisalhamento na espira e a condição \tau \le \tau_{adm} para achar d. Em seguida uso a fórmula da rigidez de mola helicoidal para encontrar o número de espiras ativas e daí o comprimento sólido.

Passo 2

Calcular a força de operação F a partir de k e \delta.
  • Fórmula (lei de Hooke para mola):
F = k\,\delta.
  • Substituindo os valores (lembre que \delta = 30\\ \mathrm{mm} e k = 1{,}8\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}):
F = \left(1{,}8\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}\right)\cdot\left(30\\ \mathrm{mm}\right)=54\\ \mathrm{N}.
Portanto a carga operacional é \,F=54\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Montar a relação de tensão admissível para escolher o diâmetro do arame d.
  • Para uma mola helicoidal de fio circular, a tensão de cisalhamento máxima devido à carga axial F é dada por
\tau = \frac{8 F D}{\pi d^{3}}\,K,
onde:
  • D é o diâmetro médio da mola,
  • d é o diâmetro do arame,
  • K é o fator de concentração de tensões (fator de Wahl) para mola de fio redondo.
  • O fator de Wahl (forma prática usada aqui) é
K = \frac{4C-1}{4C-4} + \frac{0{,}615}{C},
onde C=\dfrac{D}{d} é o índice da mola. Neste problema C=8 (dado), então vou computar K.
Calcule K com C=8:
K = \frac{4\cdot 8 - 1}{4\cdot 8 - 4} + \frac{0{,}615}{8} = \frac{31}{28} + 0{,}076875 \approx 1{,}107142857 + 0{,}076875 \approx 1{,}184017857.

Passo 4

Substituir D = C d na fórmula de tensão e impor \tau \le \tau_{adm} para resolver d.
  • Substituindo D = C d na expressão de \tau:
\tau = \frac{8 F (C d)}{\pi d^{3}}\,K = \frac{8 F C}{\pi d^{2}}\,K.
  • Impor igualdade com a tensão admissível (projeto busca o menor d que satisfaça a condição \tau \le \tau_{adm}; portanto tomamos \tau=\tau_{adm} para resolver o limite):
\tau_{adm} = \frac{8 F C}{\pi d^{2}}\,K.
  • Isolando d^{2}:
d^{2} = \frac{8 F C K}{\pi\,\tau_{adm}}.
  • Agora substituo os números conhecidos:
    • F = 54\\ \mathrm{N},
    • C = 8,
    • K \approx 1{,}184017857,
    • \tau_{adm} = 610\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Cálculo numérico:
d^{2} = \frac{8\cdot 54\cdot 8\cdot 1{,}184017857}{\pi\cdot 610}.
Faço as contas passo a passo:
8\cdot54 = 432, \qquad 432\cdot8 = 3456, \qquad 3456\cdot 1{,}184017857 \approx 4092.
\pi\cdot 610 \approx 3{,}141592654\cdot 610 \approx 1916{,}3715.
d^{2} \approx \frac{4092}{1916{,}3715}\approx 2{,}13416\\ \mathrm{mm}^{2}.
Logo
d \approx \sqrt{2{,}13416}\approx 1{,}4604\\ \mathrm{mm}.
Portanto o diâmetro do arame calculado é aproximadamente \,d \approx 1{,}460\\ \mathrm{mm}.
(Comentário prático: arredondando para um diâmetro comercial disponível, poderia escolher d=1{,}5\\ \mathrm{mm}. Se optar por isso, recalcularia rapidamente as demais grandezas. Aqui uso o valor teórico obtido.)

Passo 5

Calcular o diâmetro médio da mola D usando C.
  • Pela definição do índice:
D = C\,d.
  • Substituindo C=8 e d \approx 1{,}4604\\ \mathrm{mm}:
D \approx 8\cdot 1{,}4604 \approx 11{,}683\\ \mathrm{mm}.
Arredondando convenientemente,
D \approx 11{,}68\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Determinar o número de espiras ativas n a partir da rigidez da mola.
  • A fórmula da constante elástica de uma mola helicoidal de fio circular (para pequenas torções e aceitável para mola cilíndrica) é:
k = \frac{G d^{4}}{8 n D^{3}},
onde:
  • G é o módulo de cisalhamento,
  • d é o diâmetro do fio,
  • n é o número de espiras ativas,
  • D é o diâmetro médio da mola.
  • Isolando n:
n = \frac{G d^{4}}{8 k D^{3}}.
  • Observação útil: como D=Cd, pode-se simplificar para
n = \frac{G d}{8 k C^{3}}.
  • Substituo os valores:
    • G = 78400\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2},
    • d \approx 1{,}4604\\ \mathrm{mm},
    • k = 1{,}8\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm},
    • C=8 \Rightarrow C^{3}=512.
Cálculo:
n \approx \frac{78400\cdot 1{,}4604}{8\cdot 1{,}8\cdot 512}.
Calcule o denominador:
8\cdot 1{,}8 = 14{,}4,\qquad 14{,}4\cdot 512 = 7372{,}8.
Calcule o numerador:
78400\cdot 1{,}4604 \approx 114{,}464.
Portanto
n \approx \frac{114{,}464}{7372{,}8}\approx 15{,}534.
Isso significa que o número de espiras ativas é aproximadamente \,n \approx 15{,}53.

Passo 7

Determinar o comprimento da mola quando totalmente comprimida (altura sólida) L_s.
  • Para extremidades esquadrejadas e esmerilhadas, as duas espiras finais são inativas (achatadas), portanto o número total de espiras (incluindo as duas espiras inativas) é:
n_t = n + 2.
  • A altura sólida (comprimento quando totalmente comprimida, com espiras em contato) é aproximadamente
L_s = n_t \, d = (n+2)\,d.
  • Substituindo n \approx 15{,}534 e d \approx 1{,}4604\\ \mathrm{mm}:
n_t \approx 15{,}534 + 2 = 17{,}534,
L_s \approx 17{,}534 \cdot 1{,}4604\\ \mathrm{mm} \approx 25{,}607\\ \mathrm{mm}.
Arredondando,
L_s \approx 25{,}61\\ \mathrm{mm}.
(Comentário: se o projeto adotar um d comercial como 1{,}5\\ \mathrm{mm}, os valores de n e L_s mudariam ligeiramente — n cairia um pouco e L_s aumentaria por causa do maior d.)

Resposta

(a) d \approx 1{,}460\\ \mathrm{mm}
(b) D \approx 11{,}68\\ \mathrm{mm}
(c) L_{s} \approx 25{,}61\\ \mathrm{mm}

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