QUESTÃO 6
O setor de engenharia de uma fábrica de garras pneumáticas em São Luís recebeu encomenda de uma envasadora de água mineral local com produção nominal de 12000 garrafas
. As garras devem realizar ciclos de fechamento e abertura a cada
sem fadiga prematura da mola de retorno - a especificação contratual exige vida útil mínima de 5 anos em operação contínua, o que equivale a aproximadamente
ciclos. A nova mola helicoidal deve apresentar constante elástica
e sofrer deflexão de 30 mm sob carga de operação. Material: SAE 1065 (
), tensão admissível em serviço médio
, índice
e extremidades esquadrejadas e esmerilhadas.
Determine:
a) O diâmetro do arame;
b) O diâmetro médio da mola;
c) O comprimento da mola quando totalmente comprimida.
a) O diâmetro do arame;
b) O diâmetro médio da mola;
c) O comprimento da mola quando totalmente comprimida.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para ficar tudo claro:
- Dados do enunciado:
- Produção e vida útil fornecidas (servem para checar fadiga), mas o enunciado já nos deu a exigência de vida:
ciclos. - Constante elástica da mola:
. - Deflexão (compressão operacional):
. - Material: SAE 1065 com módulo de cisalhamento
. - Tensão admissível em serviço médio (critério de projeto):
. - Índice da mola:
(dado). - Extremidades: esquadrejadas e esmerilhadas (isto implica que o número de espiras inativas nas extremidades é 2).
- Produção e vida útil fornecidas (servem para checar fadiga), mas o enunciado já nos deu a exigência de vida:
- O que é pedido:
(a) o diâmetro do arame(em );
(b) o diâmetro médio da mola(em );
(c) o comprimento da mola quando totalmente comprimida (altura sólida)(em ).
Observação sobre unidades que vou usar: passo a trabalhar em
e
. Para isso converto a constante elástica:
A força operacional
que produz a deflexão
é dada por
. A partir de
aplico expressão de tensão de cisalhamento na espira e a condição
para achar
. Em seguida uso a fórmula da rigidez de mola helicoidal para encontrar o número de espiras ativas e daí o comprimento sólido.
Passo 2
Calcular a força de operação
a partir de
e
.
- Fórmula (lei de Hooke para mola):
- Substituindo os valores (lembre que
e ):
Portanto a carga operacional é
.
Passo 3
Montar a relação de tensão admissível para escolher o diâmetro do arame
.
- Para uma mola helicoidal de fio circular, a tensão de cisalhamento máxima devido à carga axial
é dada por
onde:
-
é o diâmetro médio da mola, -
é o diâmetro do arame, -
é o fator de concentração de tensões (fator de Wahl) para mola de fio redondo. - O fator de Wahl (forma prática usada aqui) é
onde
é o índice da mola. Neste problema
(dado), então vou computar
.
Calcule
com
:
Passo 4
Substituir
na fórmula de tensão e impor
para resolver
.
- Substituindo
na expressão de :
- Impor igualdade com a tensão admissível (projeto busca o menor
que satisfaça a condição ; portanto tomamos para resolver o limite):
- Isolando
:
- Agora substituo os números conhecidos:
-
, -
, -
, -
.
-
Cálculo numérico:
Faço as contas passo a passo:
Logo
Portanto o diâmetro do arame calculado é aproximadamente
(Comentário prático: arredondando para um diâmetro comercial disponível, poderia escolher
. Se optar por isso, recalcularia rapidamente as demais grandezas. Aqui uso o valor teórico obtido.)
Passo 5
Calcular o diâmetro médio da mola
usando
.
- Pela definição do índice:
- Substituindo
e :
Arredondando convenientemente,
Passo 6
Determinar o número de espiras ativas
a partir da rigidez da mola.
- A fórmula da constante elástica de uma mola helicoidal de fio circular (para pequenas torções e aceitável para mola cilíndrica) é:
onde:
-
é o módulo de cisalhamento, -
é o diâmetro do fio, -
é o número de espiras ativas, -
é o diâmetro médio da mola. - Isolando
:
- Observação útil: como
, pode-se simplificar para
- Substituo os valores:
-
, -
, -
, -
.
-
Cálculo:
Calcule o denominador:
Calcule o numerador:
Portanto
Isso significa que o número de espiras ativas é aproximadamente
.
Passo 7
Determinar o comprimento da mola quando totalmente comprimida (altura sólida)
.
- Para extremidades esquadrejadas e esmerilhadas, as duas espiras finais são inativas (achatadas), portanto o número total de espiras (incluindo as duas espiras inativas) é:
- A altura sólida (comprimento quando totalmente comprimida, com espiras em contato) é aproximadamente
- Substituindo
e :
Arredondando,
(Comentário: se o projeto adotar um
comercial como
, os valores de
e
mudariam ligeiramente —
cairia um pouco e
aumentaria por causa do maior
.)
Resposta
(a)
(b)
(c)