QUESTÃO 1. Um mol de um gás ideal diatômico ( \overline{C v}=5 / 2 R ) inicialmente à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e pressão igual a 1,00 \mathrm{~atm}, é submetido à seguinte transformação cíclica:
ETAPA 1 : Expansão isotérmica reversível até o dobro de seu volume inicial.
ETAPA 2 : Compressão isocórica até a pressão atingir seu valor inicial.
ETAPA 3 : Resfriamento isobárico até o volume voltar ao seu valor inicial.
a) Represente graficamente a transformação cíclica no diagrama p vs. V .
b) Complete, com o valor calculado no S.I, os espaços em branco da tabela seguinte:
Etapa Trabalho (J) Calor (J)
Variação de energia
interna (J)
Variação de entalpia (J)
1
2
3
ciclo 765 -765 0 0

Passo 1

O enunciado dá uma mol de gás ideal diatômico com \overline{C_v}=\tfrac{5}{2}R, estado inicial e três etapas de um ciclo. Perguntas:
  1. (a) Desenhar a transformação cíclica no diagrama p vs. V.
  2. (b) Preencher a tabela com valores no S.I. (Joule) para cada etapa: Trabalho, Calor, Variação de energia interna e Variação de entalpia.
    Dados fornecidos e relevantes:
\begin{aligned} &\text{Quantidade de matéria: } n=1\\ \text{mol},\\\ &\text{Capacidade molar a volume constante: } \overline{C_v}=\tfrac{5}{2}R,\\\ &\text{Logo } \overline{C_p}=\overline{C_v}+R=\tfrac{7}{2}R,\\\ &\text{Temperatura inicial: }27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão inicial: }p_1=1{,}00\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}éã
Transformações (resumidas):
  • Etapa 1: expansão isotérmica reversível de V_1 para V_2=2V_1 (temperatura fixa 300\\ \mathrm{K}).
  • Etapa 2: compressão isocórica (volume V_2 constante) até a pressão voltar a p_1.
  • Etapa 3: resfriamento isobárico (pressão p_1 constante) até o volume voltar a V_1.

Passo 2

Calcular o volume inicial V_1 usando a equação dos gases ideais:
V_1=\frac{nR T_1}{p_1}.
Substituindo n=1, R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T_1=300\\ \mathrm{K}, p_1=1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}:
V_1=\frac{1\cdot 8{,}3145\cdot 300}{1{,}013\times10^5} =\frac{2{,}494{,}35}{1{,}013\times10^5}\approx 0{,}02462\\ \mathrm{m^3}.
Comentário didático: esta fórmula vem de pV=nRT. Aqui calculamos o volume inicial para poder avaliar trabalhos e variações dependentes de V.

Passo 3

Análise da Etapa 1 (expansão isotérmica reversível V_1\to V_2=2V_1, T constante):
  • Como é isotérmica para gás ideal, a energia interna não muda: \Delta U_1=0. Para gás ideal mono/com indica-se \Delta U=n\overline{C_v}\Delta T, e \Delta T=0 implica \Delta U_1=0.
  • Trabalho feito sobre o gás (uso da convenção da tabela: trabalho positivo quando é feito sobre o gás). O trabalho elementar realizado sobre o gás é dW_{\text{on}}=-p\,dV. Integrando para processo reversível isotérmico:
W_{1} = W_{1,\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} p\,dV = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,dV = -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
Substituindo n=1, R, T=300\\ \mathrm{K} e V_2/V_1=2:
W_{1} = - (1)(8{,}3145)(300)\ln 2 \approx -1{,}729{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado com o gás: usar primeira lei na forma \Delta U = Q + W_{\text{on}}. Como \Delta U_1=0, Q_1 = -W_{1}. Logo
Q_{1} = +1{,}729{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia para gás ideal: \Delta H = n\overline{C_p}\Delta T. Como \Delta T=0, \Delta H_1=0.
Resumo Etapa 1 (valores):
W_{1}=-1{,}729{,}0\\ \mathrm{J},\quad Q_{1}=+1{,}729{,}0\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{1}=0,\quad \Delta H_{1}=0.

Passo 4

Análise da Etapa 2 (isochorica, V constante em V_2=2V_1, pressão sobe até p_1):
  • Estado após Etapa 1: V_2=2V_1 e, como foi isotérmica, T_2=T_1=300\\ \mathrm{K}. Pressão após a expansão: p_2=\dfrac{nRT_2}{V_2}=p_1\frac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_1}{2}.
  • A compressão isocórica eleva a pressão até p_3=p_1 mantendo V_3=V_2. Portanto a nova temperatura T_3 obedece T_3=\dfrac{p_3V_3}{nR}= \dfrac{p_1\cdot 2V_1}{nR}=2T_1. Assim
T_3 = 600\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho nesta etapa: como o volume é constante, W_{2}=W_{2,\text{on}}=0.
  • Variação de energia interna: \Delta U_2 = n\overline{C_v}(T_3-T_2). Com \overline{C_v}=\tfrac{5}{2}R,
\Delta U_2 = 1\cdot \tfrac{5}{2}R\cdot(600-300)=\tfrac{5}{2}R\cdot 300.
Calcule:
\Delta U_2 = 2{,}5\cdot 8{,}3145\cdot 300 \approx 6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado Q_2 segue da primeira lei: Q_2=\Delta U_2 - W_2 = \Delta U_2 (já que W_2=0), então
Q_2 = +6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia: \Delta H_2 = n\overline{C_p}(T_3-T_2) com \overline{C_p}=\tfrac{7}{2}R:
\Delta H_2 = \tfrac{7}{2}R\cdot 300 = 3{,}5\cdot 8{,}3145\cdot 300 \approx 8{,}730{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Análise da Etapa 3 (isobárica a p_1, do volume V_3=2V_1 até V_4=V_1):
  • Estado inicial da etapa: p_3=p_1, V_3=2V_1, T_3=600\\ \mathrm{K}. Estado final deve ser o estado inicial do ciclo: V_4=V_1, como a pressão é mantida p_4=p_1 temos T_4=p_1V_1/(nR)=T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura \Delta T_3 = T_4-T_3 = -300\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho feito sobre o gás numa transformação isobárica: trabalho sobre o gás é negativo do trabalho feito pelo gás:
W_3 = W_{3,\text{on}} = -\int_{V_3}^{V_4} p\,dV = -p_1(V_4-V_3).
Aqui V_4-V_3=V_1-2V_1=-V_1, então
W_3 = -p_1(-V_1)=+p_1V_1.
Mas p_1V_1=nRT_1, portanto
W_3 = nRT_1 = 8{,}3145\cdot 300 \approx 2{,}494{,}35\\ \mathrm{J}.
(positivo porque é trabalho realizado sobre o gás, já que o volume diminui).
  • Variação de energia interna:
\Delta U_3 = n\overline{C_v}(T_4-T_3)=\tfrac{5}{2}R\cdot(-300)\approx -6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado: Q_3=\Delta U_3 - W_3 (pela forma \Delta U=Q+W_{\text{on}} rearranjando Q=\Delta U-W_{\text{on}}):
Q_3 = -6{,}235{,}9 - 2{,}494{,}35 = -8{,}730{,}2\\ \mathrm{J}.
Observação didática: para processos isobáricos em gás ideal, também vale Q_p=\Delta H. Verificamos:
\Delta H_3 = n\overline{C_p}(T_4-T_3)=\tfrac{7}{2}R\cdot(-300)\approx -8{,}730{,}2\\ \mathrm{J},
logo Q_3=\Delta H_3, consistente.

Passo 6

Verificação do ciclo (soma das etapas):
  • Soma dos trabalhos (usando trabalho como “feito sobre o gás”):
W_{\text{ciclo}} = W_1+W_2+W_3 \approx -1{,}729{,}0 + 0 + 2{,}494{,}35 = +765{,}35\\ \mathrm{J}\approx +765\\ \mathrm{J}.
  • Soma dos calores:
Q_{\text{ciclo}} = Q_1+Q_2+Q_3 \approx +1{,}729{,}0 + 6{,}235{,}9 - 8{,}730{,}2 = -765{,}35\\ \mathrm{J}\approx -765\\ \mathrm{J}.
  • Soma das variações de energia interna: 0 + 6{,}235{,}9 - 6{,}235{,}9 = 0.
  • Soma das variações de entalpia: 0 + 8{,}730{,}2 - 8{,}730{,}2 = 0.
Comentários finais didáticos e sobre o gráfico (item a):
  • No diagrama p vs. V: da esquerda para a direita
    1. Etapa 1: curva isotérmica decrescente de (p_1,V_1) até (p_1/2,2V_1) — curva suave tipo hipérbole.
    2. Etapa 2: linha vertical (isochórica) subindo de (p_1/2,2V_1) até (p_1,2V_1).
    3. Etapa 3: linha horizontal (isobárica) indo para a esquerda de (p_1,2V_1) até (p_1,V_1).
  • A área líquida dentro do ciclo no diagrama p- V corresponde ao trabalho líquido feito SOBRE o gás (aqui positivo \approx 765\\ \mathrm{J}).

Resposta

(a) No diagrama p vs. V: isotérmica decrescente de (p_1,V_1) até (p_1/2,2V_1), depois vertical isocórica até (p_1,2V_1), depois horizontal isobárica de volta a (p_1,V_1).\n
(b) Etapa 1: Trabalho =-1{,}729{,}0\\ \mathrm{J}, Calor =+1{,}729{,}0\\ \mathrm{J}, \Delta U=0\\ \mathrm{J}, \Delta H=0\\ \mathrm{J}\n
Etapa 2: Trabalho =0\\ \mathrm{J}, Calor =+6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}, \Delta U=+6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}, \Delta H=+8{,}730{,}2\\ \mathrm{J}\n
Etapa 3: Trabalho =+2{,}494{,}35\\ \mathrm{J}, Calor =-8{,}730{,}2\\ \mathrm{J}, \Delta U=-6{,}235{,}9\\ \mathrm{J}, \Delta H=-8{,}730{,}2\\ \mathrm{J}\n
Ciclo (soma): Trabalho =+765\\ \mathrm{J}, Calor =-765\\ \mathrm{J}, \Delta U_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}, \Delta H_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}

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