QUESTÃO 1. Um mol de um gás ideal diatômico ( \overline{C v}=5 / 2 R ) inicialmente à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e pressão igual a 1,00 \mathrm{~atm}, é submetido à seguinte transformação cíclica:
ETAPA 1 : Expansão isotérmica reversível até o dobro de seu volume inicial.
ETAPA 2 : Compressão isocórica até a pressão atingir seu valor inicial.
ETAPA 3 : Resfriamento isobárico até o volume voltar ao seu valor inicial.
a) Represente graficamente a transformação cíclica no diagrama p vs. V .
b) Complete, com o valor calculado no S.I, os espaços em branco da tabela seguinte:
Etapa
Trabalho (J)
Calor (J)
Variação de energia
interna (J)
Variação de entalpia (J)
1
2
3
ciclo
765
-765
0
0
Passo 1
O enunciado dá uma mol de gás ideal diatômico com \overline{C_v}=\tfrac{5}{2}R, estado inicial e três etapas de um ciclo. Perguntas:
(a) Desenhar a transformação cíclica no diagrama p vs. V.
(b) Preencher a tabela com valores no S.I. (Joule) para cada etapa: Trabalho, Calor, Variação de energia interna e Variação de entalpia.
Dados fornecidos e relevantes:
Comentário didático: esta fórmula vem de pV=nRT. Aqui calculamos o volume inicial para poder avaliar trabalhos e variações dependentes de V.
Passo 3
Análise da Etapa 1 (expansão isotérmica reversível V_1\to V_2=2V_1, T constante):
Como é isotérmica para gás ideal, a energia interna não muda: \Delta U_1=0. Para gás ideal mono/com indica-se \Delta U=n\overline{C_v}\Delta T, e \Delta T=0 implica \Delta U_1=0.
Trabalho feito sobre o gás (uso da convenção da tabela: trabalho positivo quando é feito sobre o gás). O trabalho elementar realizado sobre o gás é dW_{\text{on}}=-p\,dV. Integrando para processo reversível isotérmico:
Análise da Etapa 2 (isochorica, V constante em V_2=2V_1, pressão sobe até p_1):
Estado após Etapa 1: V_2=2V_1 e, como foi isotérmica, T_2=T_1=300\\ \mathrm{K}. Pressão após a expansão: p_2=\dfrac{nRT_2}{V_2}=p_1\frac{V_1}{V_2}=\dfrac{p_1}{2}.
A compressão isocórica eleva a pressão até p_3=p_1 mantendo V_3=V_2. Portanto a nova temperatura T_3 obedece T_3=\dfrac{p_3V_3}{nR}= \dfrac{p_1\cdot 2V_1}{nR}=2T_1. Assim
T_3 = 600\\ \mathrm{K}.
Trabalho nesta etapa: como o volume é constante, W_{2}=W_{2,\text{on}}=0.
Variação de energia interna: \Delta U_2 = n\overline{C_v}(T_3-T_2). Com \overline{C_v}=\tfrac{5}{2}R,
Análise da Etapa 3 (isobárica a p_1, do volume V_3=2V_1 até V_4=V_1):
Estado inicial da etapa: p_3=p_1, V_3=2V_1, T_3=600\\ \mathrm{K}. Estado final deve ser o estado inicial do ciclo: V_4=V_1, como a pressão é mantida p_4=p_1 temos T_4=p_1V_1/(nR)=T_1=300\\ \mathrm{K}.
Variação de temperatura \Delta T_3 = T_4-T_3 = -300\\ \mathrm{K}.
Trabalho feito sobre o gás numa transformação isobárica: trabalho sobre o gás é negativo do trabalho feito pelo gás: