Um litro de solução de ácido fosfórico \left(\mathrm{H}_{3} \mathrm{PO}_{4}\right) 0,0004 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} são adicionados a nove litros de água destilada. Qual será o pH da solução final?

Passo 1

O enunciado pergunta o pH da solução final quando 1 litro de solução de ácido fosfórico \left(\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}\right) com concentração 0,0004\\ \mathrm{mol/L} é misturado com 9 litros de água destilada. Informações dadas:
\text{Concentração inicial } C_i = 0,0004\\ \mathrm{mol/L}çã
\text{Volume da solução ácida } V_{\text{ácido}} = 1\\ \mathrm{L}çãáá
\text{Volume da água } V_{\text{água}} = 9\\ \mathrm{L}áá
\text{Volume total após mistura } V_{\text{total}} = 10\\ \mathrm{L}ó
Pergunta exigida: determinar o pH da solução final após a diluição.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (mols) de \mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4} presente inicialmente. Fórmula usada:
n = C_i \cdot V_{\text{ácido}}á
Substituindo:
n = 0,0004\cdot 1 = 0,0004\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Calcular a concentração final após diluição para o volume total V_{\text{total}}=10\\ \mathrm{L}. Fórmula:
C_f = \frac{n}{V_{\text{total}}}
Substituindo:
C_f = \frac{0,0004}{10} = 0,00004\\ \mathrm{mol/L} = 4\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Explicação curta: a quantidade de mols não muda ao diluir, só o volume aumenta, então a concentração cai na razão do aumento de volume.

Passo 4

Entender a química do ácido fosfórico: \mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4} é um ácido triprótico com três constantes de dissociação (valores típicos):
K_{a1}\approx 7,5\times 10^{-3},\qquad K_{a2}\approx 6,2\times 10^{-8},\qquad K_{a3}\approx 4{,}8\times 10^{-13}.
Interpretação didática: o primeiro Ka ( K_{a1}) é relativamente grande comparado aos outros, então a primeira dissociação
\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}
é a que mais contribui para [\mathrm{H}^{+}]. As dissociações seguintes dão contribuições muito pequenas quando a concentração inicial é baixa, mas vamos verificar isso por cálculo.

Passo 5

Decidir o modelo de cálculo: tratamos a primeira dissociação explicitamente como um ácido monoprotico com concentração inicial C_0=4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{M} e constante K_{a1}. As dissociações 2 e 3 serão estimadas depois para ver se são relevantes.

Passo 6

Montar o equilíbrio da primeira dissociação. Se a fração dissociada for x=[\mathrm{H}^{+}] gerada pela primeira etapa, então no equilíbrio:
[\mathrm{H}^{+}]=x,\qquad [\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]=x,\qquad [\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}]=C_0-x.
A expressão de K_{a1} é
K_{a1}=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]}{[\mathrm{H}_{3}\mathrm{PO}_{4}]}=\frac{x^{2}}{C_0-x}.
Rearranjando obtemos a equação quadrática
x^{2}+K_{a1}x-K_{a1}C_0=0,
cuja solução positiva é
x=\frac{-K_{a1}+\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}C_0}}{2}.

Passo 7

Substituir valores numéricos para calcular x. Temos C_0=4\cdot10^{-5} e K_{a1}=7{,}5\times10^{-3}. Calcular o discriminante:
K_{a1}^{2}+4K_{a1}C_0=(7{,}5\times10^{-3})^{2}+4\cdot(7{,}5\times10^{-3})\cdot(4\cdot10^{-5}).
Fazendo as contas passo a passo:
(7{,}5\times10^{-3})^{2}=5{,}625\times10^{-5},
4\cdot(7{,}5\times10^{-3})\cdot(4\cdot10^{-5})=4\cdot7{,}5\cdot4\times10^{-8}=120\times10^{-8}=1{,}2\times10^{-6}.
Somando:
K_{a1}^{2}+4K_{a1}C_0=5{,}625\times10^{-5}+1{,}2\times10^{-6}=5{,}745\times10^{-5}.
Raiz quadrada:
\sqrt{5{,}745\times10^{-5}}\approx 7{,}580\times10^{-3}.
Agora:
x=\frac{-7{,}5\times10^{-3}+7{,}580\times10^{-3}}{2}=\frac{0{,}08\times10^{-3}}{2}=0{,}04\times10^{-3}=4{,}0\times10^{-5}.
Conclusão: x\approx 4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{M}. Ou seja, praticamente toda a concentração inicial aparece como [\mathrm{H}^{+}] pela primeira dissociação — isso ocorre porque K_{a1} é muito maior que C_0.

Passo 8

Calcular o pH a partir de [\mathrm{H}^{+}]=4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{M}. Fórmula:
\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^{+}].
Usando propriedades dos logaritmos:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\bigl(4\cdot10^{-5}\bigr) = -\bigl(\log_{10}4 + \log_{10}10^{-5}\bigr) = -\log_{10}4 + 5.
Sabendo \log_{10}4\approx 0{,}60206, temos
\mathrm{pH}\approx 5 - 0{,}60206 = 4{,}39794\approx 4{,}40.

Passo 9

Verificação da contribuição da segunda dissociação: a segunda constante é K_{a2}\approx 6{,}2\times10^{-8}. Com [\mathrm{H}_{2}\mathrm{PO}_{4}^{-}]\approx 4\cdot10^{-5} e [\mathrm{H}^{+}]\approx 4\cdot10^{-5}, a dissociação adicional da segunda etapa geraria um incremento y em [\mathrm{H}^{+}] aproximadamente igual a K_{a2} (quando já existe H+ na ordem de 4\cdot10^{-5}), ou mais formalmente y satisfaz K_{a2}\approx y para y\ll 4\cdot10^{-5}. Assim y\sim 6{,}2\times10^{-8}, que é desprezível comparado a 4\cdot10^{-5}. Portanto a estimativa de pH não muda de forma significativa.

Resposta

\mathrm{pH}\approx 4,40

Exercícios relacionados