Questão 5 - Mola, Gravidade e o Ensurdecedor Silêncio da Energia

Um cilindro de massa m=6 kg é liberado a partir do repouso a uma altura de 100 mm acima de uma mola inicialmente comprimida em x0=50 mm. A mola tem rigidez k=4000 N / m e está presa ao solo.
Problema: Determine a deflexão adicional de<a causada pela queda do cilindro até o ponto de reversão do movimento (máxima compressão da mola).

Abordagem 1 - Energia Mecânica Total

Use conservação de energia entre o ponto de soltura e o ponto de reversão. Energia potencial gravitacional se converte em energia potencial elástica da mola:
Observações:
  • O termo x0 representa a pré-compressão;
  • A energia da mola antes da queda já existe, e deve ser subtraída;

Abordagem 2 - Impulso e Quantidade de Movimento

Considere o instante de impacto como uma transferência de impulso durante o tempo De<a t. Suponha t contato =0.05 s.

Passos:

  1. Determine a velocidade de impacto: v0=raiz2 g h;
  2. A força da mola é variável, mas o impulso total é:
I=m(0-v0)=-m v0
  1. A força média pode ser aproximada como:
F média =IDe<a t é
  1. Assuma que F média approx k(x0+de<a)é e isole de<a.

Comparação entre as abordagens

Faça uma comparação aprofundada entre as abordagens propostas.

Leitura Profunda do Sistema

A mola não sente pena. A gravidade não hesita. E o impulso… só avisa depois. Compreender isso é mais que resolver equações - é reconhecer que a Física é uma leitura profunda do que o sistema ousa revelar.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de massa m=6 kg solto do repouso a uma altura de 100 mm acima de uma mola já pré-comprimida em x0=50 mm. A mola tem rigidez k=4000 N/m e está presa ao solo. Precisamos achar a deflexão adicional de<a até o ponto de máxima compressão. Para isso vamos usar duas abordagens: conservação de energia mecânica e impulso/quantidade de movimento.

Passo 2

Na abordagem por energia, a variação da energia cinética entre o ponto de soltura e a máxima compressão é zero, então a perda de energia potencial gravitacional vira ganho de energia elástica da mola (já descontada a pré-energia elástica inicial). Escrevemos
m g,h ;=;12,kl(x0+de<ar)^2;-;12,k,x0^2
onde h=100 mm e x0=50 mm (convertidos em metros). Desenvolvendo, temos
m g,h ;=;tfrac12kl[(x0+de<a)^2-x0^2r] ;Rightarrow; (x0+de<a)^2-x0^2 =,2m g,hk
que leva à equação quadrática em de<a:
de<a^2+2,x0,de<a-2m g,hk=0

Passo 3

Agora substituímos valores (com h=0,1 m e x0=0,05 m):
2m g,hk = 2cdot6cdot9,81cdot0,14000 approx0,002943, x0^2=(0,05)^2=0,0025
A solução positiva da quadrática
de<a =-,x0+raizx0^2+2m g,hk
é
de<a =-0,05+raiz0,0025+0,002943 approx0,02375 mapprox23,8 mm

Passo 4

Na abordagem por impulso, calculamos primeiro a velocidade de impacto
v0=raiz2g,happroxraiz2cdot9,81cdot0,1approx1,4007 m/s,
de modo que o impulso trocado é
I=ml(0-v0r)=-m,v0approx-6cdot1,4007=-8,4042 Ncdots
Com tempo de contato De<a t=0,05 s, a força média seria
Fmédia=IDe<a tapprox-8,40420,05=-168,08 N é
(de sinal negativo porque a mola inverte o sentido). Se tentarmos igualar lvert Fmédiarvertapprox k(x0+de<a)é, obteremos de<a negativo (não faz sentido físico), mostrando que a força da mola varia muito durante o choque e essa média não dá conta do deslocamento real.

Passo 5

Comparando as abordagens, a conservação de energia é a forma correta e exata para esse problema quasistático de compressão máxima, pois leva em conta a variação contínua da força da mola. A abordagem por impulso e força média falha aqui por assumir força constante e desconsiderar a relação não-linear entre força e deslocamento na mola.

Resposta

A deflexão adicional é aproximadamente de<aapprox0,0238 m (ou cerca de 23,8 mm).

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