Uma partícula de massa está inicialmente em repouso na posição sob ação de uma força restauradora , com constante elástica .
Tarefa Principal:
Determine a velocidade da partícula ao cruzar a posição .
Extensões :
Determine a energia potencial armazenada na mola no instante inicial.
O sistema é conservativo? Como isso se reflete na energia cinética adquirida em ?
Refaça a análise supondo que existe uma força de atrito proporcional à velocidade.
Dica Visual
Quando a mola empurra, a energia potencial vira cinética. Você pode pensar nisso como um empréstimo sem juros - e a devolução é em velocidade!
A mola não tem "vontade"de puxar - mas a física garante que ela devolve exatamente a energia que você colocou.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa , presa a uma mola de constante elástica , inicialmente em repouso em . A força restauradora segue a lei de Hooke, de modo que a energia potencial elástica é
Queremos achar a velocidade da partícula quando ela passa por .
Passo 2
Calculemos primeiro a energia potencial armazenada inicialmente, em :
Esse é todo o “estoque” de energia disponível para virar cinética se não houver perdas.
Passo 3
Como só atua a força elástica (sistema conservativo), a energia mecânica se conserva:
Inicialmente (repouso) e em a energia potencial . Logo
Passo 4
Sim, o sistema é conservativo porque só há a força elástica (nenhuma força dissipativa), e por isso toda energia potencial inicial vira energia cinética em . Isso se reflete no fato de
Passo 5
Se houvesse atrito viscoso , a energia mec^anica n~ao se conservaria: parte de seria dissipada. Nesse caso escrever’iamos a equa\c{c}~ao de energia modificada
Para encontrar v em x=0 seria preciso conhecer v(x) ou resolver a EDO
mddot x + bdot x + k x = 0
e avaliar dot x no primeiro cruzamento x=0. O resultado geral 'e que v ser’a menor que 0,316:m/s, pois parte da energia 'e gasta pelo atrito.
Resposta
A velocidade ao cruzar x=0 é aproximadamente
vapprox0,316:m/s
A energia potencial inicial é 0,1:J. O sistema, sem atrito, é conservativo e converte toda essa energia em cinética. Com atrito proporcional à velocidade, parte da energia é dissipada, e a velocidade final fica abaixo de 0,316:m/s.