Questão 3 - Da Energia Potencial ao Movimento.

Uma partícula de massa m=2 k g está inicialmente em repouso na posição x=0.1 m sob ação de uma força restauradora F(x)=k x, com constante elástica k=20 N / m.

Tarefa Principal:

  • Determine a velocidade da partícula ao cruzar a posição x=0.

Extensões :

  • Determine a energia potencial armazenada na mola no instante inicial.
  • O sistema é conservativo? Como isso se reflete na energia cinética adquirida em x=0 ?
  • Refaça a análise supondo que existe uma força de atrito proporcional à velocidade.

Dica Visual

Quando a mola empurra, a energia potencial vira cinética. Você pode pensar nisso como um empréstimo sem juros - e a devolução é em velocidade!
A mola não tem "vontade"de puxar - mas a física garante que ela devolve exatamente a energia que você colocou.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=2:kg, presa a uma mola de constante elástica k=20:N/m, inicialmente em repouso em x=0,1:m. A força restauradora segue a lei de Hooke, de modo que a energia potencial elástica é
U(x)=tfrac12,k,x^2
Queremos achar a velocidade da partícula quando ela passa por x=0.

Passo 2

Calculemos primeiro a energia potencial armazenada inicialmente, em xi=0,1:m:
Ui = tfrac12,k,xi^2 = tfrac12 times 20 times (0,1)^2 =0,1:J
Esse é todo o “estoque” de energia disponível para virar cinética se não houver perdas.

Passo 3

Como só atua a força elástica (sistema conservativo), a energia mecânica se conserva:
Ei = Ui + Ki = Ef = Uf + Kf
Inicialmente Ki=0 (repouso) e em x=0 a energia potencial Uf=0. Logo
0,1 = tfrac12,m,v^2 Longrightarrow v = raiz2times0,12 = raiz0,1approx0,316:m/s

Passo 4

Sim, o sistema é conservativo porque só há a força elástica (nenhuma força dissipativa), e por isso toda energia potencial inicial vira energia cinética em x=0. Isso se reflete no fato de
Kf = Ui = 0,1:J

Passo 5

Se houvesse atrito viscoso Fat=-b,v, a energia mec^anica n~ao se conservaria: parte de Ui seria dissipada. Nesse caso escrever’iamos a equa\c{c}~ao de energia modificada
tfrac12,m,v^2 = tfrac12,k,xi^2 ;-;underbraceintegralxi^0Fat,dxWdiss = tfrac12,k,xi^2 ;-;bintegralxi^0v,dx
Para encontrar v em x=0 seria preciso conhecer v(x) ou resolver a EDO
mddot x + bdot x + k x = 0
e avaliar dot x no primeiro cruzamento x=0. O resultado geral 'e que v ser’a menor que 0,316:m/s, pois parte da energia 'e gasta pelo atrito.

Resposta

A velocidade ao cruzar x=0 é aproximadamente
vapprox0,316:m/s
A energia potencial inicial é 0,1:J. O sistema, sem atrito, é conservativo e converte toda essa energia em cinética. Com atrito proporcional à velocidade, parte da energia é dissipada, e a velocidade final fica abaixo de 0,316:m/s.

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