Questão 7 Mostre que a função
dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que se pede (presumindo a formulação típica desta questão) é mostrar as propriedades fundamentais de
: que ela é bem-definida em
, injetora, sobrejetora (ou seja, bijetora sobre
), contínua, e determinar sua inversa explícita. Vou provar tudo isso passo a passo e explicar os conceitos usados como se estivéssemos no quadro juntos.
Passo 2
Observação sobre o argumento da tangente e o seu domínio. Defina a função auxiliar
cujo domínio natural é
quando queremos uma única ramificação contínua que atinja todos os valores reais. No nosso caso o argumento de
é
Quando
temos
portanto
Logo o argumento fica sempre estritamente dentro do intervalo
, onde
está bem definido e assume todos os valores reais. Conclusão:
está bem-definida como função de
em
.
Passo 3
Monotonicidade e injetividade. Lembrete prático: a função
é estritamente crescente em todo intervalo onde está definida entre assíntotas, por exemplo em
. Uma maneira curta de ver isso é observar a derivada
e
para todo
, portanto
é estritamente crescente ali. Agora observe que a função linear
é estritamente crescente em
(pois sua derivada é
). A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Portanto
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente é injetora, ou seja, se
então
. Assim
é injetora.
Comentário didático rápido: em prova, quando você tiver uma composição de uma função trigonométrica monotona num intervalo e uma transformação linear crescente, esse é o caminho mais direto para provar injetividade — usar monotonicidade.
Passo 4
Comportamento nas extremidades do intervalo e sobrejetividade. Vamos estudar os limites quando
se aproxima das extremidades de
.
Quando
temos
e é um fato padrão (que pode ser visto pela forma do gráfico de
ou pelos limites laterais) que
Portanto
Analogamente, quando
temos
e
logo
Agora,
é contínua e estritamente crescente em
e varia de
a
quando
percorre
. Pela propriedade do valor intermediário para funções contínuas, isso implica que para todo
existe
tal que
. Assim
é sobrejetora.
Didática: essa é a típica estratégia para mostrar que uma função definida num intervalo aberto é sobrejetora em
: provar que ela é contínua/monótona e que os limites nas extremidades vão para
.
Passo 5
Construção explícita da inversa. Para provar sobrejetividade de forma construtiva e ainda obter a inversa, resolvemos a equação
para
. Começamos com
Aplicando
(função inversa de
no intervalo
) obtemos
Desse modo
Verificação rápida de domínio: para qualquer
tem-se
, então
e assim
. Portanto a fórmula dá de fato um pré-imagem em
para qualquer
.
Conclusão: a inversa
existe e é dada por
Passo 6
Continuidade da função e da inversa. A função
é composição de funções contínuas no intervalo considerado:
é contínua e
é contínua em
. Como o argumento permanece nesse intervalo para todo
, a composição
é contínua em
. A inversa
é composição de funções contínuas em
(a função
é contínua em toda
), logo
é contínua em
. Assim
é um homeomorfismo entre
e
.
Passo 7
Resumo intuitivo e exemplo numérico para fixar a ideia. Intuitivamente, a transformação
desloca e escala o intervalo
para
; a função
envia esse intervalo para toda a reta
de forma estritamente crescente. Por exemplo, para
temos
e a inversa manda
de volta para
:
Resposta
A função
é bijetora de
sobre
, estritamente crescente e contínua.
A inversa é
A inversa é
que é contínua em
.