Questão 7 Mostre que a função f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\tan \left[\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:(0,1)\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\tan\!\left[\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\right].
O que se pede (presumindo a formulação típica desta questão) é mostrar as propriedades fundamentais de f: que ela é bem-definida em (0,1), injetora, sobrejetora (ou seja, bijetora sobre \mathbb{R}), contínua, e determinar sua inversa explícita. Vou provar tudo isso passo a passo e explicar os conceitos usados como se estivéssemos no quadro juntos.

Passo 2

Observação sobre o argumento da tangente e o seu domínio. Defina a função auxiliar
g(t)=\tan t,
cujo domínio natural é t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) quando queremos uma única ramificação contínua que atinja todos os valores reais. No nosso caso o argumento de \tan é
t=\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right).
Quando x\in(0,1) temos
x-\frac{1}{2}\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),
portanto
t=\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Logo o argumento fica sempre estritamente dentro do intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), onde \tan está bem definido e assume todos os valores reais. Conclusão: f está bem-definida como função de (0,1) em \mathbb{R}.

Passo 3

Monotonicidade e injetividade. Lembrete prático: a função \tan é estritamente crescente em todo intervalo onde está definida entre assíntotas, por exemplo em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Uma maneira curta de ver isso é observar a derivada
\frac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^2 t,
e \operatorname{sec}^2 t>0 para todo t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), portanto \tan é estritamente crescente ali. Agora observe que a função linear
h(x)=\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)
é estritamente crescente em (0,1) (pois sua derivada é \pi>0). A composição de duas funções estritamente crescentes é estritamente crescente. Portanto f(x)=\tan(h(x)) é estritamente crescente em (0,1). Uma função estritamente crescente é injetora, ou seja, se x_1<x_2 então f(x_1)<f(x_2). Assim f é injetora.
Comentário didático rápido: em prova, quando você tiver uma composição de uma função trigonométrica monotona num intervalo e uma transformação linear crescente, esse é o caminho mais direto para provar injetividade — usar monotonicidade.

Passo 4

Comportamento nas extremidades do intervalo e sobrejetividade. Vamos estudar os limites quando x se aproxima das extremidades de (0,1).
Quando x\to 0^+ temos
\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\to -\frac{\pi}{2}^+,
e é um fato padrão (que pode ser visto pela forma do gráfico de \tan ou pelos limites laterais) que
\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}^+}\tan t=-\infty.
Portanto
\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty.
Analogamente, quando x\to 1^- temos
\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\to \frac{\pi}{2}^-,
e
\lim_{t\to \frac{\pi}{2}^-}\tan t=+\infty,
logo
\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty.
Agora, f é contínua e estritamente crescente em (0,1) e varia de -\infty a +\infty quando x percorre (0,1). Pela propriedade do valor intermediário para funções contínuas, isso implica que para todo y\in\mathbb{R} existe x\in(0,1) tal que f(x)=y. Assim f é sobrejetora.
Didática: essa é a típica estratégia para mostrar que uma função definida num intervalo aberto é sobrejetora em \mathbb{R}: provar que ela é contínua/monótona e que os limites nas extremidades vão para \pm\infty.

Passo 5

Construção explícita da inversa. Para provar sobrejetividade de forma construtiva e ainda obter a inversa, resolvemos a equação y=f(x) para x. Começamos com
y=\tan\!\left[\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\right].
Aplicando \arctan (função inversa de \tan no intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)) obtemos
\arctan y=\pi\!\left(x-\frac{1}{2}\right).
Desse modo
x=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y.
Verificação rápida de domínio: para qualquer y\in\mathbb{R} tem-se \arctan y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), então \dfrac{1}{\pi}\arctan y\in\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) e assim x\in(0,1). Portanto a fórmula dá de fato um pré-imagem em (0,1) para qualquer y.
Conclusão: a inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to(0,1) existe e é dada por
f^{-1}(y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y.

Passo 6

Continuidade da função e da inversa. A função f é composição de funções contínuas no intervalo considerado: x\mapsto \pi(x-\tfrac{1}{2}) é contínua e \tan é contínua em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Como o argumento permanece nesse intervalo para todo x\in(0,1), a composição f é contínua em (0,1). A inversa f^{-1}(y)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\arctan y é composição de funções contínuas em \mathbb{R} (a função \arctan é contínua em toda \mathbb{R}), logo f^{-1} é contínua em \mathbb{R}. Assim f é um homeomorfismo entre (0,1) e \mathbb{R}.

Passo 7

Resumo intuitivo e exemplo numérico para fixar a ideia. Intuitivamente, a transformação x\mapsto \pi(x-\tfrac{1}{2}) desloca e escala o intervalo (0,1) para \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); a função \tan envia esse intervalo para toda a reta \mathbb{R} de forma estritamente crescente. Por exemplo, para x=\tfrac{1}{4} temos
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\tan\!\left[\pi\!\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\right)\right]=\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=-1,
e a inversa manda -1 de volta para x=\tfrac{1}{4}:
f^{-1}(-1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\arctan(-1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{4}.

Resposta

A função f é bijetora de (0,1) sobre \mathbb{R}, estritamente crescente e contínua.
A inversa é
f^{-1}(y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan y,
que é contínua em \mathbb{R}.

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