Questão 4 \operatorname{Sejam} f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z e h: Z \rightarrow W funções. Se gof e hog são funções bijetoras, mostre que f, g e h também são.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções \;f: X \to Y,\; g: Y \to Z,\; h: Z \to W\; e afirma que as composições \;g\circ f\; e \;h\circ g\; são bijetoras. Ou seja, é dado que cada uma das composições é injetora e sobrejetora simultaneamente.
O que se pede: mostrar que cada uma das funções \;f,\;g,\;h\; também é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \;g\circ f\; é bijetora (portanto injetora e sobrejetora).
  • \;h\circ g\; é bijetora (portanto injetora e sobrejetora).

Passo 2

Relembrando definições (sem pressa, passo a passo):
  • Uma função \varphi é injetora significa: para quaisquer a,b no domínio de \varphi, se \varphi(a)=\varphi(b) então a=b. Em palavras: diferentes elementos do domínio não podem ter a mesma imagem.
  • Uma função \varphi é sobrejetora significa: para todo elemento y do contradomínio existe x no domínio tal que \varphi(x)=y. Em palavras: a imagem da função é todo o contradomínio.
  • Uma função é bijetora quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Vamos usar essas definições para deduzir propriedades de f,g,h a partir das propriedades das composições dadas.

Passo 3

Mostrando que f é injetora usando que g\circ f é injetora.
Prova detalhada: suponha x_1,x_2\in X e que f(x_1)=f(x_2). Aplicando g às imagens obtemos
(g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2).
Como (g\circ f) é injetora, a igualdade acima implica x_1=x_2. Assim, sempre que f(x_1)=f(x_2) temos x_1=x_2; logo f é injetora.
Comentário intuitivo: se dois pontos em X virassem o mesmo ponto em Y, então ao aplicar g esses dois pontos também dariam a mesma imagem em Z; mas (g\circ f) não permite isso, então f não pode “colar” pontos — por isso é injetora.

Passo 4

Mostrando que g é sobrejetora usando que g\circ f é sobrejetora.
Prova detalhada: tome um elemento arbitrário z\in Z. Como (g\circ f) é sobrejetora (dado), existe x\in X tal que
(g\circ f)(x)=g(f(x))=z.
Defina y=f(x)\in Y. Então g(y)=z. Isso mostra que, para qualquer z\in Z, existe y\in Y com g(y)=z. Portanto g é sobrejetora.
Comentário simples: todos os elementos de Z já aparecem como imagens de algo de X via g\circ f; isso significa que cada elemento de Z é imagem de algum elemento de Y por g.

Passo 5

Mostrando que g é injetora usando que h\circ g é injetora.
Prova detalhada: suponha y_1,y_2\in Y e que g(y_1)=g(y_2). Aplicando h obtemos
(h\circ g)(y_1)=h(g(y_1))=h(g(y_2))=(h\circ g)(y_2).
Como (h\circ g) é injetora, segue y_1=y_2. Logo g é injetora.
Comentário: se g “colasse” pontos de Y, então após aplicar h a composição também colaria, o que contradiz a injetividade de h\circ g. Portanto g não cola pontos.

Passo 6

Concluímos que g é bijetora.
Justificação: do Passo 4 temos que g é sobrejetora; do Passo 5 temos que g é injetora. Injetora + sobrejetora = bijetora. Portanto g tem inversa bijetiva g^{-1}: Z\to Y.
Motivação prática: agora que g é bijetora, podemos usar g^{-1} quando for útil para passar informações entre Y e Z.

Passo 7

Mostrando que f é sobrejetora (complementando o Passo 3), usando que g é bijetora e que g\circ f é sobrejetora.
Prova detalhada: tome y\in Y arbitrário. Como g é bijetora, g(y) é um elemento de Z. Como (g\circ f) é sobrejetora, existe x\in X tal que
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y).
Aplicando g^{-1} aos dois lados (existente porque g é bijetora) obtemos
f(x)=y.
Portanto, para todo y\in Y existe x\in X com f(x)=y; isto é, f é sobrejetora.
Conclusão: já havíamos provado que f é injetora (Passo 3); agora mostramos que f também é sobrejetora, logo f é bijetora.

Passo 8

Mostrando que h é injetora (complementando a sobrejetividade do Passo 6), usando que g é surjetora e que h\circ g é injetora; já temos também que h é sobrejetora a partir de h\circ g ser sobrejetora.
Primeiro, h é sobrejetora: como (h\circ g) é sobrejetora, para qualquer w\in W existe y\in Y tal que h(g(y))=w. Então existe z=g(y)\in Z com h(z)=w. Logo h é sobrejetora.
Agora, h é injetora: suponha z_1,z_2\in Z e que h(z_1)=h(z_2). Como g é (já mostrado) sobrejetora, existem y_1,y_2\in Y com g(y_1)=z_1 e g(y_2)=z_2. Então
(h\circ g)(y_1)=h(g(y_1))=h(z_1)=h(z_2)=h(g(y_2))=(h\circ g)(y_2).
Como (h\circ g) é injetora, segue y_1=y_2. Aplicando g a y_1=y_2 z_1=g(y_1)=g(y_2)=z_2. Assim z_1=z_2, e portanto h é injetora.
Conclusão: h é injetora e sobrejetora, logo h é bijetora.

Passo 9

Resumo final das deduções (passo a passo lógico):
  • De (g\circ f) injetora segue f injetora (Passo 3).
  • De (g\circ f) sobrejetora segue g sobrejetora (Passo 4).
  • De (h\circ g) injetora segue g injetora (Passo 5).
  • Portanto g é bijetora (Passo 6).
  • Com g bijetora e (g\circ f) sobrejetora segue f sobrejetora, logo f é bijetora (Passo 7).
  • Com g sobrejetora e (h\circ g) sobrejetora segue h sobrejetora; combinando com a injetividade de h (Passo 8) concluímos que h é bijetora.
Tudo que se queria foi mostrado: f,\;g,\;h são bijetoras.

Resposta

f,\;g\text{ e }h são bijetoras.

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