Questão
e
funções. Se gof e hog são funções bijetoras, mostre que
e
também são.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e afirma que as composições
e
são bijetoras. Ou seja, é dado que cada uma das composições é injetora e sobrejetora simultaneamente.
O que se pede: mostrar que cada uma das funções
também é bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é bijetora (portanto injetora e sobrejetora). -
é bijetora (portanto injetora e sobrejetora).
Passo 2
Relembrando definições (sem pressa, passo a passo):
-
Uma função
é injetora significa: para quaisquer no domínio de , se então . Em palavras: diferentes elementos do domínio não podem ter a mesma imagem. -
Uma função
é sobrejetora significa: para todo elemento do contradomínio existe no domínio tal que . Em palavras: a imagem da função é todo o contradomínio. -
Uma função é bijetora quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Vamos usar essas definições para deduzir propriedades de
a partir das propriedades das composições dadas.
Passo 3
Mostrando que
é injetora usando que
é injetora.
Prova detalhada: suponha
e que
. Aplicando
às imagens obtemos
Como
é injetora, a igualdade acima implica
. Assim, sempre que
temos
; logo
é injetora.
Comentário intuitivo: se dois pontos em
virassem o mesmo ponto em
, então ao aplicar
esses dois pontos também dariam a mesma imagem em
; mas
não permite isso, então
não pode “colar” pontos — por isso é injetora.
Passo 4
Mostrando que
é sobrejetora usando que
é sobrejetora.
Prova detalhada: tome um elemento arbitrário
. Como
é sobrejetora (dado), existe
tal que
Defina
. Então
. Isso mostra que, para qualquer
, existe
com
. Portanto
é sobrejetora.
Comentário simples: todos os elementos de
já aparecem como imagens de algo de
via
; isso significa que cada elemento de
é imagem de algum elemento de
por
.
Passo 5
Mostrando que
é injetora usando que
é injetora.
Prova detalhada: suponha
e que
. Aplicando
obtemos
Como
é injetora, segue
. Logo
é injetora.
Comentário: se
“colasse” pontos de
, então após aplicar
a composição também colaria, o que contradiz a injetividade de
. Portanto
não cola pontos.
Passo 6
Concluímos que
é bijetora.
Justificação: do Passo 4 temos que
é sobrejetora; do Passo 5 temos que
é injetora. Injetora + sobrejetora = bijetora. Portanto
tem inversa bijetiva
.
Motivação prática: agora que
é bijetora, podemos usar
quando for útil para passar informações entre
e
.
Passo 7
Mostrando que
é sobrejetora (complementando o Passo 3), usando que
é bijetora e que
é sobrejetora.
Prova detalhada: tome
arbitrário. Como
é bijetora,
é um elemento de
. Como
é sobrejetora, existe
tal que
Aplicando
aos dois lados (existente porque
é bijetora) obtemos
Portanto, para todo
existe
com
; isto é,
é sobrejetora.
Conclusão: já havíamos provado que
é injetora (Passo 3); agora mostramos que
também é sobrejetora, logo
é bijetora.
Passo 8
Mostrando que
é injetora (complementando a sobrejetividade do Passo 6), usando que
é surjetora e que
é injetora; já temos também que
é sobrejetora a partir de
ser sobrejetora.
Primeiro,
é sobrejetora: como
é sobrejetora, para qualquer
existe
tal que
. Então existe
com
. Logo
é sobrejetora.
Agora,
é injetora: suponha
e que
. Como
é (já mostrado) sobrejetora, existem
com
e
. Então
Como
é injetora, segue
. Aplicando
a
dá
. Assim
, e portanto
é injetora.
Conclusão:
é injetora e sobrejetora, logo
é bijetora.
Passo 9
Resumo final das deduções (passo a passo lógico):
- De
injetora segue injetora (Passo 3). - De
sobrejetora segue sobrejetora (Passo 4). - De
injetora segue injetora (Passo 5). - Portanto
é bijetora (Passo 6). - Com
bijetora e sobrejetora segue sobrejetora, logo é bijetora (Passo 7). - Com
sobrejetora e sobrejetora segue sobrejetora; combinando com a injetividade de (Passo 8) concluímos que é bijetora.
Tudo que se queria foi mostrado:
são bijetoras.