Questão 7 Mostre que a função f: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1) dada por
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
é bijetora.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to(-1,1) definida por
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
e pede para mostrar que f é bijetora. Ou seja, é preciso provar duas coisas separadas:
  • f é injetora (um para um): elementos distintos em \mathbb{R} têm imagens distintas.
  • f é sobrejetora (sobre): toda y\in(-1,1) é imagem de algum x\in\mathbb{R}.
Vou provar injetividade e sobrejetividade passo a passo e, no final, dar a inversa explícita (isso também prova bijetividade).

Passo 2

Definições rápidas e a estratégia (sem pular etapas).
  • Uma função f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então x_1=x_2.
  • Uma maneira comum de provar injetividade para funções diferenciáveis é mostrar que f' não muda de sinal e, em particular, é estritamente positiva (ou negativa) em todo \mathbb{R}; isso implica f é estritamente crescente (ou decrescente) e, portanto, injetora.
  • Para surjetividade queremos mostrar que o conjunto imagem de f é exatamente (-1,1). Vou primeiro mostrar que para todo x vale |f(x)|<1 (logo imagem está contida em (-1,1)), e depois mostrar que os extremos -1 e 1 são limites quando x\to-\infty e x\to+\infty; como f é contínua e atinge todos os valores intermediários, a imagem será todo (-1,1) (Teorema do Valor Intermediário).

Passo 3

Cálculo da derivada e prova de injetividade.
Escrevendo f(x)=x(1+x^2)^{-1/2}, aplico a regra do produto e a regra da cadeia. Derivando:
f'(x)=1\cdot(1+x^2)^{-1/2} + x\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)(1+x^2)^{-3/2}\cdot 2x.
Simplificando o segundo termo:
x\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)\cdot 2x\,(1+x^2)^{-3/2} = -x^2(1+x^2)^{-3/2}.
Somando os termos:
f'(x)=(1+x^2)^{-1/2} - x^2(1+x^2)^{-3/2}.
Colocando em denominador comum (1+x^2)^{3/2}:
f'(x)=\frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}.
Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se (1+x^2)^{3/2}>0, então
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como a derivada é estritamente positiva em toda a reta, f é estritamente crescente, e portanto injetora. (Intuição: se f cresce sempre, não pode assumir o mesmo valor duas vezes.)

Passo 4

Mostrando que a imagem está contida em (-1,1).
Para todo x\in\mathbb{R} temos 1+x^2>x^2, logo
\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|.
Dividindo pelos termos positivos \sqrt{1+x^2}
\left|\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right|<1.
Portanto |f(x)|<1 para todo x, isto é, f(\mathbb{R})\subseteq(-1,1).

Passo 5

Mostrando que a imagem é todo (-1,1) (surjetividade).
Já sabemos que f é contínua (função composta de operações contínuas) e estritamente crescente. Calculo os limites nas extremidades:
Para x\to+\infty escrevo
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x^2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}1.
Para x\to-\infty posso usar a paridade ímpar da função (veja que f(-x)=-f(x)) ou dividir por |x|; então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.
Assim f é contínua, estritamente crescente, com
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=1.
Pelo Teorema do Valor Intermediário e o fato de ser estritamente crescente, f atinge todos os valores entre -1 e 1 exatamente uma vez. Logo f(\mathbb{R})=(-1,1); isto prova que f é sobrejetora.

Passo 6

Construindo a inversa explicitamente (verificação adicional e útil na prova de surjetividade).
Seja y\in(-1,1). Para encontrar x tal que f(x)=y resolvemos
y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Elevando ao quadrado:
y^{2}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}(1+x^{2})=x^{2}.
Reorganizando:
y^{2}=x^{2}(1-y^{2})\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{y^{2}}{1-y^{2}}.
Portanto
x=\pm\frac{|y|}{\sqrt{1-y^{2}}}.
A escolha do sinal é determinada pelo sinal de y, já que f é ímpar e estritamente crescente: se y\ge0 então x\ge0; se y\le0 então x\le0. Assim a expressão correta e única é
x=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.
Definindo g:(-1,1)\to\mathbb{R} por
g(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}},
temos g(f(x))=x e f(g(y))=y para todo x\in\mathbb{R} e todo y\in(-1,1), portanto g=f^{-1}. Isso confirma que cada y\in(-1,1) tem exatamente um antecessor x\in\mathbb{R}, ou seja, f é bijetora.

Resposta

A função f é bijetora. Sua inversa é f^{-1}:(-1,1)\to\mathbb{R} dada por \displaystyle f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.

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