Questão 7 Mostre que a função f: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1) dada por
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
é bijetora.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to(-1,1) definida por
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
e pede para mostrar que f é bijetora. Ou seja, é preciso provar duas coisas separadas:
f é injetora (um para um): elementos distintos em \mathbb{R} têm imagens distintas.
f é sobrejetora (sobre): toda y\in(-1,1) é imagem de algum x\in\mathbb{R}.
Vou provar injetividade e sobrejetividade passo a passo e, no final, dar a inversa explícita (isso também prova bijetividade).
Passo 2
Definições rápidas e a estratégia (sem pular etapas).
Uma função f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2), então x_1=x_2.
Uma maneira comum de provar injetividade para funções diferenciáveis é mostrar que f' não muda de sinal e, em particular, é estritamente positiva (ou negativa) em todo \mathbb{R}; isso implica f é estritamente crescente (ou decrescente) e, portanto, injetora.
Para surjetividade queremos mostrar que o conjunto imagem de f é exatamente (-1,1). Vou primeiro mostrar que para todo x vale |f(x)|<1 (logo imagem está contida em (-1,1)), e depois mostrar que os extremos -1 e 1 são limites quando x\to-\infty e x\to+\infty; como f é contínua e atinge todos os valores intermediários, a imagem será todo (-1,1) (Teorema do Valor Intermediário).
Passo 3
Cálculo da derivada e prova de injetividade.
Escrevendo f(x)=x(1+x^2)^{-1/2}, aplico a regra do produto e a regra da cadeia. Derivando:
Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se (1+x^2)^{3/2}>0, então
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como a derivada é estritamente positiva em toda a reta, f é estritamente crescente, e portanto injetora. (Intuição: se f cresce sempre, não pode assumir o mesmo valor duas vezes.)
Passo 4
Mostrando que a imagem está contida em (-1,1).
Para todo x\in\mathbb{R} temos 1+x^2>x^2, logo
\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=|x|.
Dividindo pelos termos positivos \sqrt{1+x^2} dá
\left|\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right|<1.
Portanto |f(x)|<1 para todo x, isto é, f(\mathbb{R})\subseteq(-1,1).
Passo 5
Mostrando que a imagem é todo (-1,1) (surjetividade).
Já sabemos que f é contínua (função composta de operações contínuas) e estritamente crescente. Calculo os limites nas extremidades:
Para x\to+\infty escrevo
Pelo Teorema do Valor Intermediário e o fato de ser estritamente crescente, f atinge todos os valores entre -1 e 1 exatamente uma vez. Logo f(\mathbb{R})=(-1,1); isto prova que f é sobrejetora.
Passo 6
Construindo a inversa explicitamente (verificação adicional e útil na prova de surjetividade).
Seja y\in(-1,1). Para encontrar x tal que f(x)=y resolvemos
A escolha do sinal é determinada pelo sinal de y, já que f é ímpar e estritamente crescente: se y\ge0 então x\ge0; se y\le0 então x\le0. Assim a expressão correta e única é
x=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.
Definindo g:(-1,1)\to\mathbb{R} por
g(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}},
temos g(f(x))=x e f(g(y))=y para todo x\in\mathbb{R} e todo y\in(-1,1), portanto g=f^{-1}. Isso confirma que cada y\in(-1,1) tem exatamente um antecessor x\in\mathbb{R}, ou seja, f é bijetora.
Resposta
A função f é bijetora. Sua inversa é f^{-1}:(-1,1)\to\mathbb{R} dada por \displaystyle f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}.