Questão 5 - Mostre que a função
satisfaz à equação de onda.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação de onda.
Informações dadas (extraio diretamente do enunciado): é uma constante (amplitude),
é o número de onda,
é a frequência angular e
é a fase inicial. O que precisamos provar é que essa função verifica a equação de onda na forma habitual
Informações dadas (extraio diretamente do enunciado):
para alguma velocidade
(que pode depender de
e
). A resolução começará a partir dessas informações.
Passo 2
Vou aplicar derivação parcial duas vezes em
e duas vezes em
. Antes, lembro duas coisas importantes (cadeia e derivada de cosseno), porque vamos usá-las passo a passo:
- Regra da cadeia (para derivadas parciais): se
, então . O mesmo vale para derivada em . - Derivada do cosseno:
e
.
Aqui é conveniente definir a função interna
então
.
Passo 3
Derivada parcial de
em relação a
: calculo primeiro
. Aplicando a regra da cadeia,
Aqui cada passo: tirei derivada do cosseno (vira
) e multipliquei por
.
Passo 4
Segunda derivada parcial em
: derivamos
em relação a
. Usando regra da cadeia novamente e que
e
,
Passo 5
Agora derivadas em relação a
. Primeiro
. Aplicando cadeia,
Repare que os dois sinais negativos se cancelam.
Passo 6
Segunda derivada parcial em
: derivamos
em relação a
. Usando
e
,
Passo 7
Agora comparei as duas segundas derivadas obtidas:
Dividindo uma pela outra, fica
Escrevendo na forma padrão da equação de onda
vemos que isso é verdade se escolhermos
tal que
Outra forma de ver: substituindo diretamente,
que é zero quando
, i.e.
.
Passo 8
Conclusão didática e física (curtinha): a função senoidal deslocada
é uma solução da equação de onda unidimensional se a velocidade de propagação
satisfizer
. Isso casa com a interpretação física:
é a frequência angular e
é o número de onda, e a relação
dá a velocidade de fase da onda.
Resposta
A função satisfaz a equação de onda
desde que
.