Questão 5 - Mostre que a função \mathrm{f}_{(\mathrm{x}, 1)}=\mathrm{A} \cdot \operatorname{Cos}(\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}+\delta) satisfaz à equação de onda.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f_{(x,t)} = A \cdot \Cos(kx-\omega t+\delta) e pede para mostrar que ela satisfaz a equação de onda.
Informações dadas (extraio diretamente do enunciado): A é uma constante (amplitude), k é o número de onda, \omega é a frequência angular e \delta é a fase inicial. O que precisamos provar é que essa função verifica a equação de onda na forma habitual
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}},
para alguma velocidade v (que pode depender de k e \omega). A resolução começará a partir dessas informações.

Passo 2

Vou aplicar derivação parcial duas vezes em x e duas vezes em t. Antes, lembro duas coisas importantes (cadeia e derivada de cosseno), porque vamos usá-las passo a passo:
  • Regra da cadeia (para derivadas parciais): se f(x,t)=g(u(x,t)), então \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\frac{\partial u}{\partial x}. O mesmo vale para derivada em t.
  • Derivada do cosseno: \displaystyle \frac{d}{du}\Cos(u)=-\Sin(u) e \displaystyle \frac{d}{du}\Sin(u)=\Cos(u).
    Aqui é conveniente definir a função interna
u(x,t)=kx-\omega t+\delta,
então f(x,t)=A\Cos(u(x,t)).

Passo 3

Derivada parcial de f em relação a x: calculo primeiro \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=k. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=A\cdot\frac{d}{du}\Cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = A\cdot\bigl(-\Sin(u)\bigr)\cdot k = -A k \Sin(u).
Aqui cada passo: tirei derivada do cosseno (vira -\Sin) e multipliquei por \partial u/\partial x=k.

Passo 4

Segunda derivada parcial em x: derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-A k \Sin(u) em relação a x. Usando regra da cadeia novamente e que \displaystyle \frac{d}{du}\Sin(u)=\Cos(u) e \partial u/\partial x=k,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -A k \cdot \frac{d}{du}\Sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = -A k \cdot \Cos(u) \cdot k = -A k^{2} \Cos(u).

Passo 5

Agora derivadas em relação a t. Primeiro \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=-\omega. Aplicando cadeia,
\frac{\partial f}{\partial t}=A\cdot\frac{d}{du}\Cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t} = A\cdot\bigl(-\Sin(u)\bigr)\cdot(-\omega) = A\omega \Sin(u).
Repare que os dois sinais negativos se cancelam.

Passo 6

Segunda derivada parcial em t: derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=A\omega \Sin(u) em relação a t. Usando \displaystyle \frac{d}{du}\Sin(u)=\Cos(u) e \partial u/\partial t=-\omega,
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = A\omega \cdot \frac{d}{du}\Sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t} = A\omega \cdot \Cos(u) \cdot (-\omega) = -A \omega^{2} \Cos(u).

Passo 7

Agora comparei as duas segundas derivadas obtidas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -A k^{2} \Cos(u),\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = -A \omega^{2} \Cos(u).
Dividindo uma pela outra, fica
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{k^{2}}{\omega^{2}}\;\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}.
Escrevendo na forma padrão da equação de onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}},
vemos que isso é verdade se escolhermos v tal que
\frac{1}{v^{2}}=\frac{k^{2}}{\omega^{2}}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{\omega}{k}.
Outra forma de ver: substituindo diretamente,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = -A\Cos(u)\bigl(k^{2}-\tfrac{\omega^{2}}{v^{2}}\bigr),
que é zero quando \omega^{2}=k^{2}v^{2}, i.e. v=\omega/k.

Passo 8

Conclusão didática e física (curtinha): a função senoidal deslocada \displaystyle A\Cos(kx-\omega t+\delta) é uma solução da equação de onda unidimensional se a velocidade de propagação v satisfizer \displaystyle v=\frac{\omega}{k}. Isso casa com a interpretação física: \omega é a frequência angular e k é o número de onda, e a relação \displaystyle v=\omega/k dá a velocidade de fase da onda.

Resposta

A função satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}
desde que v=\dfrac{\omega}{k}.

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