Questão 6 - Tipos de ondas:
A - O que é uma onda eletromagnética senoidal ???
B - O que é uma onda eletromagnética plana ???
C - Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana ???
D - O que é uma onda eletromagnética esférica ???
E - Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica ???
F - Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana. Lembrar que a função Gaussiana é da forma: g(x)=\exp \left(-x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado faz seis perguntas (A a F). Vou listá‑las claramente e dizer a informação que foi dada:
A — O que é uma onda eletromagnética senoidal?
B — O que é uma onda eletromagnética plana?
C — Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana?
D — O que é uma onda eletromagnética esférica?
E — Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica?
F — Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana, lembrando que a função Gaussiana é da forma \;g(x)=\exp\left(-x^{2}\right)\;.
Informação dada explicitamente: a função Gaussiana tem a forma \;g(x)=\exp\left(-x^{2}\right)\;.
Nenhuma figura faltando: todas as perguntas são conceituais/matemáticas.

Passo 2

Primeiro, uma ideia geral (sem formalizar ainda): uma onda eletromagnética é uma perturbação do campo elétrico \mathbf{E} e do campo magnético \mathbf{B} que se propaga no espaço e no tempo. Quando eu der fórmulas abaixo, vou usar representações senoidais e complexas — isso é só uma forma prática de escrever oscilações harmônicas. Antes de tudo, explico o que significa “senoidal” em ondas.
O que significa “senoidal” (no sentido que iremos usar): uma oscilação senoidal é uma função do tipo \cos ou \sin (ou sua forma complexa \exp(i\cdot)) em tempo e/ou espaço. Um exemplo unidimensional simples é
u(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi),
onde vou explicar cada símbolo mais abaixo.

Passo 3

Definição e fórmula de uma onda eletromagnética senoidal (monocromática):
Uma onda eletromagnética senoidal é uma solução do tipo harmônico (monocromático) em que os campos variam segundo uma função seno/cosseno no tempo e na posição. Uma forma matemática muito usada (representação real) é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • \mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico no ponto \mathbf{r} e tempo t;
  • \mathbf{E}_0 é o vetor amplitude (definindo intensidade e polarização);
  • \mathbf{k} é o vetor de onda: aponta na direção de propagação e tem magnitude |\mathbf{k}|=k;
  • \omega é a frequência angular (tem relação com a frequência f por \omega=2\pi f);
  • \varphi é a fase inicial;
  • \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi é a fase da onda.
Explicando em linguagem de prova: “senoidal” = time‑harmonic, isto é, depende de \cos ou \sin (ou \Re\{e^{i(\cdot)}\}). Às vezes é mais prático usar a forma complexa
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\!\big\{\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\big\},
porque derivadas ficam mais simples (a parte real é que interessa fisicamente).

Passo 4

O que é uma onda eletromagnética plana — definição e propriedades:
Uma onda é dita plana quando superfícies de fase constante \{\mathbf{r}:\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t=\text{const}\} são planos. A forma matemática típica é exatamente a da etapa anterior:
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi\bigr).
Propriedades importantes (úteis para prova):
  • A direção de propagação é \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|.
  • O campo só depende de \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} (combinação linear das coordenadas), por isso as frentes de onda são planas.
  • Em vácuo, para que essa forma satisfaça a equação de onda livre
\nabla^2\mathbf{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0,
é necessário que
\omega = c\,|\mathbf{k}|.
Como verificar isso rapidamente (olha de prova): aplicando \nabla^2 em e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} -|\mathbf{k}|^2 e^{i(\cdot)} e aplicando \partial_t^2 -\omega^2 e^{i(\cdot)}; substituir na equação de onda leva à condição -|\mathbf{k}|^2 + \omega^2/c^2=0.

Passo 5

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} numa onda plana (dica prática):
Numa onda plana em vácuo os campos \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{k} são mutuamente ortogonais. Uma relação prática (útil em prova) é
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t),
onde \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|. Isso significa: sentido do \mathbf{B} é dado pelo produto vetorial entre direção de propagação e \mathbf{E}; magnitude é |\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|/c (em unidades SI, no vácuo).

Passo 6

Resposta à pergunta C (a relação entre senoidal e plana) — explicando o conceito:
Uma onda “senoidal” descreve a dependência temporal/espacial como seno/cosseno (monocromática). Uma onda “plana” descreve a geometria das frentes de onda (planas). Portanto:
  • Uma “onda senoidal” pode ter frentes de onda de qualquer forma (planas, esféricas, etc.): a propriedade “senoidal” refere‑se à variação harmônica.
  • Uma “onda plana senoidal” é o caso em que a oscilação é senoidal e as frentes de onda são planas — exemplo canônico é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr).
Resumo prático para prova: pensar primeiro se a dependência espacial é \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} (plana) ou depende de r=|\mathbf{r}| (esférica); depois ver se a dependência temporal é senoidal.

Passo 7

O que é uma onda eletromagnética esférica — definição e fórmula:
Uma onda esférica tem frentes de onda que são esferas concêntricas. Uma forma típica (dependendo só da distância radial r=|\mathbf{r}|) é, em representação real,
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{\mathbf{A}}{r}\cos\!\bigl(kr-\omega t+\varphi\bigr),
ou em forma complexa
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\!\left\{\frac{\mathbf{A}}{r}e^{i(kr-\omega t)}\right\}.
Aqui \mathbf{A} dá a amplitude/polarização e o fator 1/r é físico: mostra que a amplitude decai com a distância porque a energia se espalha em uma superfície esférica crescente ( \text{área}\propto r^2á, então intensidade \propto 1/r^2, amplitude \propto 1/r). Importante para prova: a função \dfrac{e^{ikr}}{r} (para r\neq0) é uma solução do problema de Helmholtz (\nabla^2 + k^2)\psi=0 no espaço livre, isto é, é um tipo de onda esférica.

Passo 8

Como ver que \dfrac{e^{ikr}}{r} é solução (bastante direto para prova):
Se definir \psi(\mathbf{r})=\dfrac{e^{ikr}}{r} com r=|\mathbf{r}|, ao aplicar o operador \nabla^2 (em coordenadas esféricas) e somar k^2\psi obtém‑se zero para r\neq0. Não preciso fazer toda a expansão aqui, mas a ideia de prova é usar a forma radial do Laplaciano:
\nabla^2\psi=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\psi).
Substituindo \psi=e^{ikr}/r \nabla^2\psi=-k^2\psi. Assim (\nabla^2+k^2)\psi=0.

Passo 9

Relação entre onda plana e onda esférica (resposta para E) — aproximação local (campo próximo versus campo distante):
  • Uma onda plana é uma solução global com frentes planas. Uma onda esférica tem frentes esféricas. Porém, localmente (em uma pequena região da superfície de uma esfera), uma esfera parece plana — por isso, “spherical waves look like plane waves locally”.
  • Em linguagem de prova: para observador em distância z muito maior que a extensão transversal \rho da região observada, expandimos
r=\sqrt{z^{2}+\rho^{2}}\approx z+\frac{\rho^{2}}{2z}+\dots
então a fase kr\approx kz + k\frac{\rho^{2}}{2z}. Se olharmos só para uma pequena região onde \rho é pequeno, o termo dominante é kz — comportamento parecido com uma onda plana \propto e^{ikz}. Conclusão prática: no campo distante (far field) uma onda esférica se aproxima de uma onda plana localmente. Isso é muito usado em difração e radiação.

Passo 10

O que é uma “onda Gaussiana plana” (pergunta F) — ideia e formas práticas:
Há duas coisas que a expressão “Gaussiana plana” pode querer dizer; explico as duas e quando usar cada uma:
Opção simples (envelope gaussiano multiplicando portadora plana) — forma didática e suficiente para prova inicial:
  • Definimos uma portadora plana (senoidal) e multiplicamos por um envelope Gaussiano nas direções transversais. Em notação para campo elétrico:
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\!\left\{\mathbf{E}_0 \exp\!\left(-\frac{|\mathbf{r}_\perp|^{2}}{w^{2}}\right)\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\right\},
onde \mathbf{r}_\perp é a componente do vetor posição perpendicular à direção \hat{\mathbf{k}}, e w controla a largura da Gaussiana. Em 1D essa ideia fica simples:
E(x,t)=\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{w^{2}}\right)\cos(kz-\omega t),
se a propagação for ao longo de z e a Gaussiana estiver na coordenada x.
Essa forma representa uma onda cuja amplitude transverse tem perfil Gaussiano e cuja fase ao longo da direção de propagação é plana (aproximação válida quando a variação do envelope é lenta comparada à oscilação da portadora).
Opção mais precisa (feixe Gaussiano, usado em óptica) — forma que satisfaz aproximadamente a equação de onda sob a aproximação paraxial:
  • A solução fundamental (modo TEM _{00}) do que chamamos “Gaussian beam” é
\begin{aligned} E(r,z,t)&=\Re\Bigg\{E_0\frac{w_0}{w(z)}\exp\!\left(-\frac{r^{2}}{w(z)^{2}}\right)\exp\!\Big(i(kz-\omega t)-i\frac{kr^{2}}{2R(z)}+i\zeta(z)\Big)\Bigg\}, \end{aligned}
onde:
  • r é a coordenada radial transversal ( r^2=x^2+y^2);
  • w_0 é o waist (meia‑largura mínima do feixe);
  • w(z)=w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2} é a largura do feixe no plano z;
  • z_R=\pi w_0^2/\lambda é o comprimento de Rayleigh;
  • R(z)=z\bigl[1+(z_R/z)^2\bigr] é o raio de curvatura da frente de fase;
  • \zeta(z)=\arctan(z/z_R) é a fase de Gouy.
  • Essa forma é mais completa: demonstra que um envelope Gaussiano puro multiplicado por uma portadora plana não é solução exata da equação de onda, mas sob a aproximação paraxial (pequenos ângulos em relação ao eixo de propagação) o feixe Gaussiano acima é uma solução muito útil.
Para provas básicas, basta saber a ideia: “onda Gaussiana plana” = portadora plana multiplicada por envelope Gaussiano transverso; se pedirem refinamento, citar o feixe Gaussiano e os parâmetros w(z),R(z),\zeta(z).

Passo 11

Dicas práticas de como reconhecer e usar essas formas na prova (resumo em passos de verificação):
  1. Se a dependência espacial é \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} (linear em coordenadas) → frentes planas → onda plana.
  2. Se a dependência é por r=|\mathbf{r}| e aparece um fator 1/r → onda esférica.
  3. Se a forma é \cos(\ldots) ou \Re\{e^{i(\ldots)}\} → senoidal/monocromática.
  4. Se aparecer multiplicado por \exp(-\rho^{2}/w^{2}) ou \exp(-x^{2}/w^{2}) → envelope Gaussiano.
  5. Para checar se uma forma é solução da equação de onda, use a condição de dispersão para ondas planas \omega=c|\mathbf{k}| ou conheça que \dfrac{e^{ikr}}{r} é solução radial.
Você consegue! Na prova, identifique primeiro se o problema pede geometria (plana/esférica) ou harmonia (senoidal/Gaussiana), escreva a forma correta e verifique a equação de onda ou as condições de contorno.

Resposta

A — Uma onda eletromagnética senoidal é uma oscilação harmônica dos campos elétrico e magnético, geralmente escrita como \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi\bigr) (ou \Re\{\mathbf{E}_0e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\}); \mathbf{E}_0 é a amplitude, \mathbf{k} o vetor de onda, \omega a frequência angular e \varphi a fase.
B — Uma onda eletromagnética plana é uma onda cuja fase depende linearmente de \mathbf{r}, tipicamente \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr); as frentes de onda \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=\text{const} são planos e, em vácuo, satisfaz \omega=c|\mathbf{k}|.
C — Relação: “senoidal” refere‑se à dependência harmônica no tempo/espaço; “plana” refere‑se à geometria das frentes. Uma onda senoidal pode ser plana ou não; a onda plana senoidal é o caso em que a oscilação é harmônica e as frentes são planas (ex.: \mathbf{E}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)).
D — Uma onda eletromagnética esférica tem frentes esféricas e geralmente depende de r=|\mathbf{r}|, por exemplo \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{\mathbf{A}}{r}\cos(kr-\omega t+\varphi); o fator 1/r aparece devido ao espalhamento da energia em esferas.
E — Relação: localmente (ou no campo distante) uma frente esférica é aproximadamente plana — por expansão r\approx z+\rho^{2}/(2z) obtém‑se uma fase cujo termo dominante é linear em z, de modo que uma onda esférica aparece como plana em uma pequena região ou a grandes distâncias.
F — Uma onda Gaussiana plana é uma portadora plana modulada por um envelope Gaussiano nas direções transversais, por exemplo \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\!\left\{\mathbf{E}_0\exp\!\left(-\frac{|\mathbf{r}_\perp|^{2}}{w^{2}}\right)e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\right\}; para descrição mais precisa de propagação usa‑se o feixe Gaussiano (paraxial) com w(z),R(z),\zeta(z).

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