Questão 6 - Tipos de ondas:
A - O que é uma onda eletromagnética senoidal ???
B - O que é uma onda eletromagnética plana ???
C - Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana ???
D - O que é uma onda eletromagnética esférica ???
E - Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica ???
F - Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana. Lembrar que a função Gaussiana é da forma:
.
A - O que é uma onda eletromagnética senoidal ???
B - O que é uma onda eletromagnética plana ???
C - Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana ???
D - O que é uma onda eletromagnética esférica ???
E - Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica ???
F - Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana. Lembrar que a função Gaussiana é da forma:
Passo 1
O enunciado faz seis perguntas (A a F). Vou listá‑las claramente e dizer a informação que foi dada:
A — O que é uma onda eletromagnética senoidal?
B — O que é uma onda eletromagnética plana?
C — Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana?
D — O que é uma onda eletromagnética esférica?
E — Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica?
F — Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana, lembrando que a função Gaussiana é da forma .
A — O que é uma onda eletromagnética senoidal?
B — O que é uma onda eletromagnética plana?
C — Qual a relação entre onda eletromagnética senoidal e onda eletromagnética plana?
D — O que é uma onda eletromagnética esférica?
E — Qual a relação entre onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica?
F — Como seria uma onda eletromagnética Gaussiana plana, lembrando que a função Gaussiana é da forma
Informação dada explicitamente: a função Gaussiana tem a forma
.
Nenhuma figura faltando: todas as perguntas são conceituais/matemáticas.
Nenhuma figura faltando: todas as perguntas são conceituais/matemáticas.
Passo 2
Primeiro, uma ideia geral (sem formalizar ainda): uma onda eletromagnética é uma perturbação do campo elétrico
e do campo magnético
que se propaga no espaço e no tempo. Quando eu der fórmulas abaixo, vou usar representações senoidais e complexas — isso é só uma forma prática de escrever oscilações harmônicas. Antes de tudo, explico o que significa “senoidal” em ondas.
O que significa “senoidal” (no sentido que iremos usar): uma oscilação senoidal é uma função do tipo
ou
(ou sua forma complexa
) em tempo e/ou espaço. Um exemplo unidimensional simples é
onde vou explicar cada símbolo mais abaixo.
Passo 3
Definição e fórmula de uma onda eletromagnética senoidal (monocromática):
Uma onda eletromagnética senoidal é uma solução do tipo harmônico (monocromático) em que os campos variam segundo uma função seno/cosseno no tempo e na posição. Uma forma matemática muito usada (representação real) é
Uma onda eletromagnética senoidal é uma solução do tipo harmônico (monocromático) em que os campos variam segundo uma função seno/cosseno no tempo e na posição. Uma forma matemática muito usada (representação real) é
onde:
-
é o campo elétrico no ponto e tempo ; -
é o vetor amplitude (definindo intensidade e polarização); -
é o vetor de onda: aponta na direção de propagação e tem magnitude ; -
é a frequência angular (tem relação com a frequência por ); -
é a fase inicial; -
é a fase da onda.
Explicando em linguagem de prova: “senoidal” = time‑harmonic, isto é, depende de
ou
(ou
). Às vezes é mais prático usar a forma complexa
porque derivadas ficam mais simples (a parte real é que interessa fisicamente).
Passo 4
O que é uma onda eletromagnética plana — definição e propriedades:
Uma onda é dita plana quando superfícies de fase constante são planos. A forma matemática típica é exatamente a da etapa anterior:
Uma onda é dita plana quando superfícies de fase constante
Propriedades importantes (úteis para prova):
- A direção de propagação é
. - O campo só depende de
(combinação linear das coordenadas), por isso as frentes de onda são planas. - Em vácuo, para que essa forma satisfaça a equação de onda livre
é necessário que
Como verificar isso rapidamente (olha de prova): aplicando
em
dá
e aplicando
dá
; substituir na equação de onda leva à condição
.
Passo 5
Relação entre
e
numa onda plana (dica prática):
Numa onda plana em vácuo os campos ,
e
são mutuamente ortogonais. Uma relação prática (útil em prova) é
Numa onda plana em vácuo os campos
onde
. Isso significa: sentido do
é dado pelo produto vetorial entre direção de propagação e
; magnitude é
(em unidades SI, no vácuo).
Passo 6
Resposta à pergunta C (a relação entre senoidal e plana) — explicando o conceito:
Uma onda “senoidal” descreve a dependência temporal/espacial como seno/cosseno (monocromática). Uma onda “plana” descreve a geometria das frentes de onda (planas). Portanto:
Uma onda “senoidal” descreve a dependência temporal/espacial como seno/cosseno (monocromática). Uma onda “plana” descreve a geometria das frentes de onda (planas). Portanto:
- Uma “onda senoidal” pode ter frentes de onda de qualquer forma (planas, esféricas, etc.): a propriedade “senoidal” refere‑se à variação harmônica.
- Uma “onda plana senoidal” é o caso em que a oscilação é senoidal e as frentes de onda são planas — exemplo canônico é
Resumo prático para prova: pensar primeiro se a dependência espacial é
(plana) ou depende de
(esférica); depois ver se a dependência temporal é senoidal.
Passo 7
O que é uma onda eletromagnética esférica — definição e fórmula:
Uma onda esférica tem frentes de onda que são esferas concêntricas. Uma forma típica (dependendo só da distância radial ) é, em representação real,
Uma onda esférica tem frentes de onda que são esferas concêntricas. Uma forma típica (dependendo só da distância radial
ou em forma complexa
Aqui
dá a amplitude/polarização e o fator
é físico: mostra que a amplitude decai com a distância porque a energia se espalha em uma superfície esférica crescente (
, então intensidade
, amplitude
). Importante para prova: a função
(para
) é uma solução do problema de Helmholtz
no espaço livre, isto é, é um tipo de onda esférica.
Passo 8
Como ver que
é solução (bastante direto para prova):
Se definir com
, ao aplicar o operador
(em coordenadas esféricas) e somar
obtém‑se zero para
. Não preciso fazer toda a expansão aqui, mas a ideia de prova é usar a forma radial do Laplaciano:
Se definir
Substituindo
dá
. Assim
.
Passo 9
Relação entre onda plana e onda esférica (resposta para E) — aproximação local (campo próximo versus campo distante):
- Uma onda plana é uma solução global com frentes planas. Uma onda esférica tem frentes esféricas. Porém, localmente (em uma pequena região da superfície de uma esfera), uma esfera parece plana — por isso, “spherical waves look like plane waves locally”.
- Em linguagem de prova: para observador em distância
muito maior que a extensão transversal da região observada, expandimos
então a fase
. Se olharmos só para uma pequena região onde
é pequeno, o termo dominante é
— comportamento parecido com uma onda plana
. Conclusão prática: no campo distante (far field) uma onda esférica se aproxima de uma onda plana localmente. Isso é muito usado em difração e radiação.
Passo 10
O que é uma “onda Gaussiana plana” (pergunta F) — ideia e formas práticas:
Há duas coisas que a expressão “Gaussiana plana” pode querer dizer; explico as duas e quando usar cada uma:
Há duas coisas que a expressão “Gaussiana plana” pode querer dizer; explico as duas e quando usar cada uma:
Opção simples (envelope gaussiano multiplicando portadora plana) — forma didática e suficiente para prova inicial:
- Definimos uma portadora plana (senoidal) e multiplicamos por um envelope Gaussiano nas direções transversais. Em notação para campo elétrico:
onde
é a componente do vetor posição perpendicular à direção
, e
controla a largura da Gaussiana. Em 1D essa ideia fica simples:
se a propagação for ao longo de
e a Gaussiana estiver na coordenada
.
Essa forma representa uma onda cuja amplitude transverse tem perfil Gaussiano e cuja fase ao longo da direção de propagação é plana (aproximação válida quando a variação do envelope é lenta comparada à oscilação da portadora).
Opção mais precisa (feixe Gaussiano, usado em óptica) — forma que satisfaz aproximadamente a equação de onda sob a aproximação paraxial:
- A solução fundamental (modo TEM
) do que chamamos “Gaussian beam” é
onde:
-
é a coordenada radial transversal ( ); -
é o waist (meia‑largura mínima do feixe); -
é a largura do feixe no plano ; -
é o comprimento de Rayleigh; -
é o raio de curvatura da frente de fase; -
é a fase de Gouy. - Essa forma é mais completa: demonstra que um envelope Gaussiano puro multiplicado por uma portadora plana não é solução exata da equação de onda, mas sob a aproximação paraxial (pequenos ângulos em relação ao eixo de propagação) o feixe Gaussiano acima é uma solução muito útil.
Para provas básicas, basta saber a ideia: “onda Gaussiana plana” = portadora plana multiplicada por envelope Gaussiano transverso; se pedirem refinamento, citar o feixe Gaussiano e os parâmetros
.
Passo 11
Dicas práticas de como reconhecer e usar essas formas na prova (resumo em passos de verificação):
- Se a dependência espacial é
(linear em coordenadas) → frentes planas → onda plana. - Se a dependência é por
e aparece um fator → onda esférica. - Se a forma é
ou → senoidal/monocromática. - Se aparecer multiplicado por
ou → envelope Gaussiano. - Para checar se uma forma é solução da equação de onda, use a condição de dispersão para ondas planas
ou conheça que é solução radial.
Você consegue! Na prova, identifique primeiro se o problema pede geometria (plana/esférica) ou harmonia (senoidal/Gaussiana), escreva a forma correta e verifique a equação de onda ou as condições de contorno.
Resposta
A — Uma onda eletromagnética senoidal é uma oscilação harmônica dos campos elétrico e magnético, geralmente escrita como
(ou
);
é a amplitude,
o vetor de onda,
a frequência angular e
a fase.
B — Uma onda eletromagnética plana é uma onda cuja fase depende linearmente de , tipicamente
; as frentes de onda
são planos e, em vácuo, satisfaz
.
C — Relação: “senoidal” refere‑se à dependência harmônica no tempo/espaço; “plana” refere‑se à geometria das frentes. Uma onda senoidal pode ser plana ou não; a onda plana senoidal é o caso em que a oscilação é harmônica e as frentes são planas (ex.: ).
D — Uma onda eletromagnética esférica tem frentes esféricas e geralmente depende de , por exemplo
; o fator
aparece devido ao espalhamento da energia em esferas.
E — Relação: localmente (ou no campo distante) uma frente esférica é aproximadamente plana — por expansão obtém‑se uma fase cujo termo dominante é linear em
, de modo que uma onda esférica aparece como plana em uma pequena região ou a grandes distâncias.
F — Uma onda Gaussiana plana é uma portadora plana modulada por um envelope Gaussiano nas direções transversais, por exemplo ; para descrição mais precisa de propagação usa‑se o feixe Gaussiano (paraxial) com
.
B — Uma onda eletromagnética plana é uma onda cuja fase depende linearmente de
C — Relação: “senoidal” refere‑se à dependência harmônica no tempo/espaço; “plana” refere‑se à geometria das frentes. Uma onda senoidal pode ser plana ou não; a onda plana senoidal é o caso em que a oscilação é harmônica e as frentes são planas (ex.:
D — Uma onda eletromagnética esférica tem frentes esféricas e geralmente depende de
E — Relação: localmente (ou no campo distante) uma frente esférica é aproximadamente plana — por expansão
F — Uma onda Gaussiana plana é uma portadora plana modulada por um envelope Gaussiano nas direções transversais, por exemplo