(5%) Questão 3. Mostre que
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é irracional. Informações relevantes dadas ou necessárias para a prova:
- A afirmação a ser provada é:
não pode ser escrito como uma fração de inteiros. - Lembrete útil que usarei: um número racional pode ser escrito como uma fração
com , e assumiremos que essa fração está em forma irredutível (ou seja, ). - Vou usar uma prova por contradição: assumir o contrário (que
é racional) e deduzir uma contradição lógica.
Passo 2
Assuma, por contradição, que
é racional. Então existem inteiros
e
, com
e
, tais que
Sem perda de generalidade, pode-se tomar
(se
, troca-se o sinal de
e
). Esta é a hipótese que vou refutar.
Passo 3
Elevo ambos os lados da igualdade ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos a igualdade inteira
Passo 4
Da equação
segue que
é par (pois é múltiplo de
). Agora uso o fato simples sobre paridade: se um cubo inteiro é par então a base também é par. Vou justificar isso com calma.
Proposição auxiliar: se
é inteiro e
é par então
é par.
Prova da proposição: suponha que seja ímpar. Então existe inteiro
com
. Calculando o cubo:
Prova da proposição: suponha que
que é da forma
, ou seja, ímpar. Assim, se
fosse ímpar,
seria ímpar — contradição com a hipótese de que
é par. Logo
não pode ser ímpar; portanto
é par. Aplicando isso a
: como
é par, concluímos que
é par.
Passo 5
Como
é par, existe inteiro
tal que
. Substituindo em
obtemos
Dividindo ambos os lados por
resulta
Assim
é múltiplo de
(é par), o que, pelo mesmo argumento do passo anterior aplicado a
, implica que
também é par.
Passo 6
Chegamos a uma conclusão importante:
é par e
é par. Isso significa que ambos são divisíveis por
, ou seja,
é um divisor comum de
e
. Logo
.
Porém isso contradiz a hipótese inicial de que a fração
estava em forma irredutível com
. Portanto a suposição de que
é racional leva a uma contradição.
Passo 7
Da contradição obtida segue que a hipótese inicial estava errada. Logo não existem inteiros
com
tais que
. Isso prova que
é irracional.