(5%) Questão 3. Mostre que \sqrt[3]{2} é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \sqrt[3]{2} é irracional. Informações relevantes dadas ou necessárias para a prova:
  • A afirmação a ser provada é: \sqrt[3]{2} não pode ser escrito como uma fração de inteiros.
  • Lembrete útil que usarei: um número racional pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0 e assumiremos que essa fração está em forma irredutível (ou seja, \gcd(p,q)=1).
  • Vou usar uma prova por contradição: assumir o contrário (que \sqrt[3]{2} é racional) e deduzir uma contradição lógica.

Passo 2

Assuma, por contradição, que \sqrt[3]{2} é racional. Então existem inteiros p e q, com q\neq0 e \gcd(p,q)=1, tais que
\sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}.
Sem perda de generalidade, pode-se tomar q>0 (se q<0, troca-se o sinal de p e q). Esta é a hipótese que vou refutar.

Passo 3

Elevo ambos os lados da igualdade ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
2=\left(\dfrac{p}{q}\right)^3=\dfrac{p^3}{q^3}.
Multiplicando em ambos os lados por q^3 obtemos a igualdade inteira
2q^3=p^3.

Passo 4

Da equação 2q^3=p^3 segue que p^3 é par (pois é múltiplo de 2). Agora uso o fato simples sobre paridade: se um cubo inteiro é par então a base também é par. Vou justificar isso com calma.
Proposição auxiliar: se n é inteiro e n^3 é par então n é par.
Prova da proposição: suponha que n seja ímpar. Então existe inteiro m com n=2m+1. Calculando o cubo:
n^3=(2m+1)^3=8m^3+12m^2+6m+1=2(4m^3+6m^2+3m)+1,
que é da forma 2\cdot(\text{inteiro})+1, ou seja, ímpar. Assim, se n fosse ímpar, n^3 seria ímpar — contradição com a hipótese de que n^3 é par. Logo n não pode ser ímpar; portanto n é par. Aplicando isso a p: como p^3 é par, concluímos que p é par.

Passo 5

Como p é par, existe inteiro k tal que p=2k. Substituindo em 2q^3=p^3 obtemos
2q^3=(2k)^3=8k^3.
Dividindo ambos os lados por 2 resulta
q^3=4k^3.
Assim q^3 é múltiplo de 2 (é par), o que, pelo mesmo argumento do passo anterior aplicado a q, implica que q também é par.

Passo 6

Chegamos a uma conclusão importante: p é par e q é par. Isso significa que ambos são divisíveis por 2, ou seja, 2 é um divisor comum de p e q. Logo \gcd(p,q)\ge2.
Porém isso contradiz a hipótese inicial de que a fração \dfrac{p}{q} estava em forma irredutível com \gcd(p,q)=1. Portanto a suposição de que \sqrt[3]{2} é racional leva a uma contradição.

Passo 7

Da contradição obtida segue que a hipótese inicial estava errada. Logo não existem inteiros p,q com \gcd(p,q)=1 tais que \sqrt[3]{2}=\dfrac{p}{q}. Isso prova que \sqrt[3]{2} é irracional.

Resposta

\sqrt[3]{2} é irracional.

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