Considere um corpo de massa
preso a uma mola de constante
.
a) Sem amortecimento, o deslocamento
satisfaz a equação
com condições iniciais
(deslocamento inicial de 1 m ) e
(corpo solto a partir do repouso). Resolva a equação e descreva o movimento.
b) Se houver amortecimento proporcional à velocidade, com coeficiente
, a equação torna-se
com as mesmas condições iniciais
. Resolva a equação neste caso. Esboce o gráfico da solução e compare-o com o do item a.
a) Sem amortecimento, o deslocamento
b) Se houver amortecimento proporcional à velocidade, com coeficiente
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Dados fixos:
- massa
(já incorporada nas equações dadas), - constante elástica da mola
.
- massa
-
Parte (a):
- Equação de movimento sem amortecimento:
- Condições iniciais:
- Pedidos: resolver a EDO (achar
) e descrever o movimento.
- Equação de movimento sem amortecimento:
-
Parte (b):
- Equação com amortecimento proporcional à velocidade (coeficiente
): - Mesmas condições iniciais:
- Pedidos: resolver a EDO neste caso, esboçar (descrever) o gráfico da solução e comparar com o caso (a).
- Equação com amortecimento proporcional à velocidade (coeficiente
Passo 2
Método adotado (porquê e o que é): são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é:
- escrever a equação característica substituindo
por , o que leva a um polinômio em ; - encontrar as raízes
(podem ser reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas); - montar a solução geral conforme o tipo de raízes;
- usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Vou aplicar isso primeiro para a parte (a).
Passo 3
Resolver a parte (a): equação
- Equação característica: supondo
obtemos - Resolver para
: São raízes complexas conjugadas com . - Forma geral da solução quando as raízes são
: onde e são constantes a determinar pelas condições iniciais. - Aplicar as condições iniciais:
-
dá - Calcular
: Avaliando em e usando :
-
- Portanto a solução específica é
Passo 4
Interpretação didática do resultado da parte (a):
- Esta é uma oscilação harmônica simples (sem amortecimento).
- Amplitude:
(porque e a solução é um cosseno com coeficiente ). - Frequência angular:
(aproximadamente ). - Período:
- Velocidade inicial zero (corpo solto do repouso) e movimento simétrico em torno de
. Energia mecânica conservada (transformação contínua entre energia cinética e energia potencial elástica), então a amplitude não decai.
Passo 5
Resolver a parte (b): equação com amortecimento
- Equação característica:
- Resolver o quadrático (fatorando ou usando fórmula):
São duas raízes reais distintas e negativas. - Para raízes reais distintas
Assim aqui
- Determinar
com as condições iniciais: -
dá - Calcular
: Avaliando e usando dá - Resolver o sistema linear
Somando as duas equações (ou substituindo) obtém-se: Então (C_{1}=1-C_{2}=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}].
-
- Portanto a solução específica é
]
Passo 6
Interpretação didática do resultado da parte (b) e comparação com (a):
- Tipo de amortecimento: como as raízes são reais distintas e negativas, o sistema é subamortecido? Na nomenclatura correta: é um caso overdamped (superamortecido) — ou seja, sem oscilações, retorno para o equilíbrio sem cruzar
. - Comportamento qualitativo da solução:
-
e (mesma condição inicial do caso (a)), mas agora a resposta é combinação de dois expoentes negativos. - Para
pode-se verificar o sinal de . Calculando Para tem , logo ; portanto é monoticamente decrescente para . Não há atravessamento do equilíbrio nem oscilações. - O decaimento é dominado, para grandes
, pelo termo com menor valor absoluto do expoente negativo (o termo domina sobre ), então assintoticamente - Tempo característico de decaimento: o fator
tem constante de tempo (ou seja, decai significativamente em torno de 1 s).
-
- Comparação direta com (a):
- (a) oscilatório simples, amplitude constante
, período . - (b) sem oscilações, posição decai monotonamente de
para exponencialmente; o amortecimento dissipa a energia e o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar.
- (a) oscilatório simples, amplitude constante
- Observação física útil:
indica a aceleração inicial. No caso (b): então a aceleração inicial aponta para o equilíbrio (negativa), coerente com diminuindo a partir de .
Resposta
(a)
. Movimento: oscilação harmônica simples de amplitude
, frequência angular
e período
.
(b)
. Movimento: regime superamortecido (sem oscilações),
decai monotonamente de
para
(assintoticamente como
), comportamento qualitativamente muito diferente do item (a): em (a) há oscilações persistentes, em (b) há retorno sem oscilar devido ao amortecimento.