Considere um corpo de massa m=1 \mathrm{~kg} preso a uma mola de constante k=3 \mathrm{N} / \mathrm{m}.
a) Sem amortecimento, o deslocamento y(t) satisfaz a equação
y^{\prime \prime}+3 y=0,
com condições iniciais y(0)=1 (deslocamento inicial de 1 m ) e y^{\prime}(0)=0 (corpo solto a partir do repouso). Resolva a equação e descreva o movimento.
b) Se houver amortecimento proporcional à velocidade, com coeficiente c=4, a equação torna-se
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0
com as mesmas condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=0. Resolva a equação neste caso. Esboce o gráfico da solução e compare-o com o do item a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fixos:
    • massa m=1\\ \mathrm{kg} (já incorporada nas equações dadas),
    • constante elástica da mola k=3\\ \mathrm{N/m}.
  • Parte (a):
    • Equação de movimento sem amortecimento: y'' + 3y = 0,
    • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
    • Pedidos: resolver a EDO (achar y(t)) e descrever o movimento.
  • Parte (b):
    • Equação com amortecimento proporcional à velocidade (coeficiente c=4): y'' + 4y' + 3y = 0,
    • Mesmas condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
    • Pedidos: resolver a EDO neste caso, esboçar (descrever) o gráfico da solução e comparar com o caso (a).

Passo 2

Método adotado (porquê e o que é): são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é:
  • escrever a equação característica substituindo y por e^{rt}, o que leva a um polinômio em r;
  • encontrar as raízes r (podem ser reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas);
  • montar a solução geral conforme o tipo de raízes;
  • usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Vou aplicar isso primeiro para a parte (a).

Passo 3

Resolver a parte (a): equação
y'' + 3y = 0.
  • Equação característica: supondo y=e^{rt} obtemos r^{2}+3=0.
  • Resolver para r: r^{2}=-3 \quad\Rightarrow\quad r=\pm i\sqrt{3}.São raízes complexas conjugadas r=\pm i\omega com \omega=\sqrt{3}.
  • Forma geral da solução quando as raízes são \pm i\omega: y(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  • Aplicar as condições iniciais:
    • y(0)=1 y(0)=C\cos(0)+D\sin(0)=C\cdot1+ D\cdot0 = C = 1.
    • Calcular y'(t): y'(t)=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t).Avaliando em t=0 e usando y'(0)=0: y'(0) = -C\omega\cdot0 + D\omega\cdot1 = D\omega = 0 \quad\Rightarrow\quad D=0.
  • Portanto a solução específica é y(t)=\cos(\sqrt{3}\,t).

Passo 4

Interpretação didática do resultado da parte (a):
  • Esta é uma oscilação harmônica simples (sem amortecimento).
  • Amplitude: 1 (porque y(0)=1 e a solução é um cosseno com coeficiente 1).
  • Frequência angular: \omega=\sqrt{3}\\ \mathrm{rad/s} (aproximadamente 1{,}732\\ \mathrm{rad/s}).
  • Período: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx 3{,}627\\ \text{s}.
  • Velocidade inicial zero (corpo solto do repouso) e movimento simétrico em torno de y=0. Energia mecânica conservada (transformação contínua entre energia cinética e energia potencial elástica), então a amplitude não decai.

Passo 5

Resolver a parte (b): equação com amortecimento
y'' + 4y' + 3y = 0.
  • Equação característica: r^{2}+4r+3=0.
  • Resolver o quadrático (fatorando ou usando fórmula): r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3)=0 \quad\Rightarrow\quad r=-1,\\\ -3.São duas raízes reais distintas e negativas.
  • Para raízes reais distintas r_1,r_2\) a solução geral é \[y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.Assim aqui y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t}.
  • Determinar C_{1},C_{2} com as condições iniciais:
    • y(0)=1 C_{1}+C_{2}=1.
    • Calcular y'(t): y'(t)=-C_{1}e^{-t}-3C_{2}e^{-3t}.Avaliando t=0 e usando y'(0)=0 -C_{1}-3C_{2}=0.
    • Resolver o sistema linear \begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] -C_{1}-3C_{2}=0. \end{cases}Somando as duas equações (ou substituindo) obtém-se: (-C_{1}-3C_{2}) + (C_{1}+C_{2}) = 0+1 \quad\Rightarrow\quad -2C_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\tfrac{1}{2}.Então (C_{1}=1-C_{2}=1-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{2}].
  • Portanto a solução específica é y(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}.]

Passo 6

Interpretação didática do resultado da parte (b) e comparação com (a):
  • Tipo de amortecimento: como as raízes são reais distintas e negativas, o sistema é subamortecido? Na nomenclatura correta: é um caso overdamped (superamortecido) — ou seja, sem oscilações, retorno para o equilíbrio sem cruzar y=0.
  • Comportamento qualitativo da solução:
    • y(0)=1 e y'(0)=0 (mesma condição inicial do caso (a)), mas agora a resposta é combinação de dois expoentes negativos.
    • Para t>0 pode-se verificar o sinal de y'(t). Calculando y'(t)=-\tfrac{3}{2}e^{-t}+\tfrac{3}{2}e^{-3t}=\tfrac{3}{2}\bigl(-e^{-t}+e^{-3t}\bigr).Para t>0 tem e^{-t}>e^{-3t}, logo y'(t)<0; portanto y(t) é monoticamente decrescente para t>0. Não há atravessamento do equilíbrio nem oscilações.
    • O decaimento é dominado, para grandes t, pelo termo com menor valor absoluto do expoente negativo (o termo e^{-t} domina sobre e^{-3t}), então assintoticamente y(t)\sim \tfrac{3}{2}e^{-t}\quad\text{quando }t\to\infty.
    • Tempo característico de decaimento: o fator e^{-t} tem constante de tempo \tau=1\\ \text{s} (ou seja, decai significativamente em torno de 1 s).
  • Comparação direta com (a):
    • (a) oscilatório simples, amplitude constante 1, período T=2\pi/\sqrt{3}.
    • (b) sem oscilações, posição decai monotonamente de 1 para 0 exponencialmente; o amortecimento dissipa a energia e o sistema volta ao equilíbrio sem oscilar.
  • Observação física útil: y''(0) indica a aceleração inicial. No caso (b): y''(0) = -4y'(0)-3y(0) = -3,então a aceleração inicial aponta para o equilíbrio (negativa), coerente com y diminuindo a partir de 1.

Resposta

(a) y(t)=\cos\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr). Movimento: oscilação harmônica simples de amplitude 1, frequência angular \omega=\sqrt{3}\\ \mathrm{rad/s} e período T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx 3{,}627\\ \text{s}.
(b) y(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}. Movimento: regime superamortecido (sem oscilações), y(t) decai monotonamente de 1 para 0 (assintoticamente como \tfrac{3}{2}e^{-t}), comportamento qualitativamente muito diferente do item (a): em (a) há oscilações persistentes, em (b) há retorno sem oscilar devido ao amortecimento.

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