Questão n° 4 :
O que significa dizer na teoria de Bohr que “a energia do átomo é quantizada”.

Passo 1

O enunciado pede: explicar o que significa, na teoria de Bohr, dizer que “a energia do átomo é quantizada”.
Informações dadas: apenas a frase a ser explicada. Não há números ou figura fornecidos.

Passo 2

Resposta intuitiva imediata (em palavras simples, para já entender a ideia central).
Dizer que a energia do átomo é quantizada significa que o elétron ligado ao núcleo só pode ter certos valores bem definidos de energia — não pode ter qualquer valor contínuo. Esses valores permitidos são chamados de níveis de energia discretos E_n. Quando o elétron muda de um nível para outro, ele emite ou absorve um fóton cuja energia é exatamente a diferença entre dois níveis:
\Delta E = h\nu,
onde h é a constante de Planck e \nu é a frequência do fóton. Em linguagem de prova: “energias permitidas” = “valores discretos, não contínuos”.

Passo 3

Apresentando os postulados básicos de Bohr necessários para entender e justificar a quantização (cada postulado com explicação simples):
  • Postulado 1 — órbitas estacionárias: existem órbitas nas quais o elétron não emite radiação mesmo estando acelerado; nessas órbitas o elétron tem energias bem definidas. Significado prático: existem estados permitidos estáveis.
  • Postulado 2 — quantização do momento angular: apenas órbitas cujo momento angular satisfaçam
m v r = n\hbar,
são permitidas, onde m é a massa do elétron, v sua velocidade na órbita, r o raio da órbita, \hbar=\dfrac{h}{2\pi} e n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Esse postulado é a regra matemática que seleciona só algumas órbitas.
  • Postulado 3 — emissão/absorção por saltos: a radiação ocorre somente quando o elétron salta entre duas órbitas permitidas n_i\to n_f, e o fóton tem energia
\Delta E = E_{n_f}-E_{n_i} = h\nu.

Passo 4

Derivando as órbitas permitidas (passo a passo, sem pular etapas). Primeiro equacione forças para um elétron em órbita circular ao redor do próton (átomo de hidrogênio):
  • Força centrípeta necessária:
F_{\text{cent}}=\dfrac{m v^2}{r}.
  • Força eletrostática de Coulomb entre próton e elétron:
F_{\text{Coul}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2},
onde e é a carga elementar e \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Igualando F_{\text{cent}}=F_{\text{Coul}}:
\dfrac{m v^2}{r}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}.
Dessa igualdade tiramos
m v^2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.

Passo 5

Usando a quantização do momento angular para eliminar v e encontrar os raios permitidos. Do postulado:
m v r = n\hbar \quad\Rightarrow\quad v=\dfrac{n\hbar}{m r}.
Substitua v em m v^2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}:
m\left(\dfrac{n\hbar}{m r}\right)^2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Simplificando:
\dfrac{n^2\hbar^2}{m r^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Multiplique ambos os lados por r^2 e resolva para r:
r_n=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\,n^2.
Definimos o raio de Bohr
a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2},
logo
r_n = a_0 n^2.
Interpretação: os raios possíveis formam uma sequência discreta (a_0,4a_0,9a_0,\dots).

Passo 6

Calcule os níveis de energia E_n passo a passo. A energia total do elétron é soma da energia cinética K e do potencial elétrico U:
E=K+U=\tfrac{1}{2}m v^2 - \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Usando m v^2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r} (obtido no Passo 4), temos
K=\tfrac{1}{2}m v^2=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}=\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Portanto
E=\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}=-\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Substituindo r=r_n=a_0 n^2:
E_n=-\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{a_0 n^2}.
Usando a expressão de a_0 e manipulando, obtemos a forma usual
E_n=-\dfrac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\cdot\dfrac{1}{n^2}.
Conclusão: os níveis de energia são discretos e variam com 1/n^2.

Passo 7

Valor numérico do estado fundamental (exemplo para memorizar e usar em prova). Ao calcular a constante que aparece em E_n para o elétron, chega-se ao famoso valor
E_1\approx -13{,}6\\ \mathrm{eV},
e portanto
E_n=\dfrac{E_1}{n^2}=-\dfrac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Isto é muito útil: por exemplo, a transição n=2\to n=1 libera energia
\Delta E=E_1-E_2= -13{,}6\left(1-\tfrac{1}{4}\right)\\ \mathrm{eV}= -10{,}2\\ \mathrm{eV},
que corresponde a um fóton de comprimento de onda aproximado \lambda\approx 121{,}6\\ \mathrm{nm} (linha Lyman- \alpha).

Passo 8

O que escrever numa resposta de prova curta e eficiente (modelo pronto para copiar):
“Afirmar que a energia é quantizada significa que o elétron ligado ao átomo só pode ocupar certos níveis discretos de energia E_n (por exemplo \,E_n=-13{,}6\\ \mathrm{eV}/n^2 para o hidrogênio,), e que qualquer emissão ou absorção de radiação ocorre quando o elétron salta entre esses níveis, com fóton de energia \Delta E=h\nu.”
Essa frase junta o conceito e a fórmula principal que o professor geralmente espera.

Passo 9

Interpretação física e limitações (o que não dizer como se fosse verdade universal):
  • Interpretação física: “quantizado” não é um artefato matemático só; é uma previsão que explica linhas espectrais discretas observadas.
  • Limitações: o modelo de Bohr funciona bem para átomos hidrogenoides (um elétron), dá corretamente as energias principais e as linhas espectrais grossas, mas falha em átomos com muitos elétrons, não explica estrutura fina, nem é a teoria completa — para isso usamos a Mecânica Quântica (equação de Schrödinger), onde a quantização surge naturalmente das condições de contorno sobre as funções de onda.

Passo 10

Dica de memorização e encorajamento (rápido): memorize a ideia-chave (“energia = discreta, saltos = fótons com \Delta E=h\nu”) e a fórmula prática E_n=-13{,}6\\ \mathrm{eV}/n^2 para hidrogênio. Você consegue lembrar disso na prova — respira fundo, escreve a frase do Passo 8 e, se pedirem, derive como fiz nos passos anteriores. Vai dar certo!

Resposta

Significa que os elétrons ligados ao núcleo só podem ter valores discretos de energia (níveis E_n), por exemplo \,E_n=-\dfrac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^2} no hidrogênio, e que emissões ou absorções ocorrem apenas por transições entre esses níveis com fótons de energia \Delta E=h\nu.

Exercícios relacionados