Questão \mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} 3:

O modelo atômico de Bohr só foi capaz de explicar, de modo satisfatório, o espectro do átomo de hidrogênio, ou íons que contêm somente um elétron. Através da equação abaixo é possível calcular a energia para cada nível do átomo de hidrogênio, de acordo com ela responda:
\mathrm{E}=\frac{-2,18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}}{\mathrm{n}^{2}}
onde n representa o nível de energia
(a) Determine a energia dos cinco primeiros níveis atômicos do átomo de hidrogênio.
(b) Calcule os comprimentos de onda e as energias da radiação emitida pelo elétron durante a transição entre os níveis:
\begin{aligned} & n=5 \text { para } n=2 \\\ & n=4 \text { para } n=2 \\\ & n=3 \text { para } n=2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a expressão da energia de cada nível do átomo de hidrogênio:
\mathrm{E}=\frac{-2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}}{n^{2}}
e pede duas coisas:
(a) determinar a energia dos cinco primeiros níveis atômicos ( n=1,2,3,4,5);
(b) calcular os comprimentos de onda e as energias da radiação emitida nas transições
\begin{aligned} & n=5\\ \to\\ n=2,\\\ & n=4\\ \to\\ n=2,\\\ & n=3\\ \to\\ n=2. \end{aligned}
Constantes que vou usar (valores usuais, indicados para cálculo em provas):
h=6,63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Explicando a fórmula e como calcular: a expressão dada já dá diretamente a energia do nível n. Basta substituir n e fazer a divisão. A energia vem em joules e é negativa porque os níveis ligados têm energia menor que a do elétron livre (referência zero).
Vou calcular um a um com arredondamento coerente (três algarismos significativos, compatível com 2,18).
Para n=1:
\mathrm{E}_1=\frac{-2,18\times10^{-18}}{1^{2}}=-2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Para n=2:
\mathrm{E}_2=\frac{-2,18\times10^{-18}}{2^{2}}=\frac{-2,18\times10^{-18}}{4}=-5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para n=3:
\mathrm{E}_3=\frac{-2,18\times10^{-18}}{3^{2}}=\frac{-2,18\times10^{-18}}{9}=-2,42\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para n=4:
\mathrm{E}_4=\frac{-2,18\times10^{-18}}{4^{2}}=\frac{-2,18\times10^{-18}}{16}=-1,36\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para n=5:
\mathrm{E}_5=\frac{-2,18\times10^{-18}}{5^{2}}=\frac{-2,18\times10^{-18}}{25}=-8,72\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Agora a regra para a emissão de fóton: quando o elétron cai de um nível inicial n_i para um nível final n_f ( n_i>n_f), a energia do fóton emitido é igual à diferença entre as energias dos níveis:
E_{\text{fóton}}=E_{i}-E_{f}.ó
Note que E_i e E_f são números negativos; a diferença acima dá um valor positivo para emissão. Em seguida usamos a relação de Planck para obter o comprimento de onda:
\lambda=\frac{hc}{E_{\text{fóton}}}.ó
Em ambas as fórmulas, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz (valores dados no Passo 1).

Passo 4

Cálculo das energias dos fótons das transições pedidas.
(i) Transição n=5\to n=2:
E_{\text{fóton}}=E_{5}-E_{2}=(-8,72\times10^{-20})-(-5,45\times10^{-19})=4,58\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
(ii) Transição n=4\to n=2:
E_{\text{fóton}}=E_{4}-E_{2}=(-1,36\times10^{-19})-(-5,45\times10^{-19})=4,09\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
(iii) Transição n=3\to n=2:
E_{\text{fóton}}=E_{3}-E_{2}=(-2,42\times10^{-19})-(-5,45\times10^{-19})=3,03\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 5

Cálculo dos comprimentos de onda usando \lambda=\dfrac{hc}{E_{\text{fóton}}}ó. Vou calcular cada um com os valores de h e c do Passo 1 e apresentar em metros e em nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}).
(i) Para n=5\to2:
\lambda=\frac{6,63\times10^{-34}\cdot3,00\times10^{8}}{4,58\times10^{-19}} =\frac{1,989\times10^{-25}}{4,58\times10^{-19}}=4,34\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=434\\ \mathrm{nm}.
(ii) Para n=4\to2:
\lambda=\frac{1,989\times10^{-25}}{4,09\times10^{-19}}=4,86\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=486\\ \mathrm{nm}.
(iii) Para n=3\to2:
\lambda=\frac{1,989\times10^{-25}}{3,03\times10^{-19}}=6,56\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656\\ \mathrm{nm}.
Esses comprimentos de onda são conhecidos como linhas da série de Balmer (visível): aproximadamente 656\\ \mathrm{nm} (vermelho), 486\\ \mathrm{nm} (azul-verde) e 434\\ \mathrm{nm} (violeta).

Resposta

(a) E_{1}=-2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}
E_{2}=-5,45\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
E_{3}=-2,42\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
E_{4}=-1,36\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
E_{5}=-8,72\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
(b) n=5\to2:\\ E_{\text{fóton}}=4,58\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\ \lambda=434\\ \mathrm{nm}ó
n=4\to2:\\ E_{\text{fóton}}=4,09\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\ \lambda=486\\ \mathrm{nm}ó
n=3\to2:\\ E_{\text{fóton}}=3,03\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\ \lambda=656\\ \mathrm{nm}ó

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