Questão 2. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1,4,-7) e é paralela à reta de equações paramétricas
\left\{\begin{array}{l} x=200-\lambda \\\ y=\sqrt{3}-3 \lambda \quad(\lambda \in \mathbb{R}) \\\ z=2 \lambda \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: obter equações paramétricas da reta que contém o ponto (1,4,-7) e é paralela à reta dada por
\left\{\begin{array}{l} x=200-\lambda \\[4pt] y=\sqrt{3}-3\lambda \quad(\lambda \in \mathbb{R}) \\[4pt] z=2\lambda \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um ponto por onde a reta procurada passa: P=(1,4,-7).
  • Equações paramétricas de uma reta paralela: as expressões de x,y,z em função de \lambda (peguei essas fórmulas do enunciado).
  • A reta dada é paramétrica com parâmetro \lambda\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Entendendo o que extrair da reta dada. Uma reta em \mathbb{R}^3 escrita em forma paramétrica tem, em geral, a forma
\left\{\begin{array}{l} x=x_0+a t\\[4pt] y=y_0+b t\\[4pt] z=z_0+c t \end{array}\right.
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é um vetor de direção da reta. O vetor de direção indica para onde a reta “aponta”: mudar o parâmetro em 1 desloca a posição na reta pelo vetor (a,b,c).]

Passo 3

Pegando o vetor de direção da reta dada. A reta do enunciado está escrita como
\left\{\begin{array}{l} x=200-\lambda \\[4pt] y=\sqrt{3}-3\lambda \\[4pt] z=2\lambda \end{array}\right.
Para ver o vetor de direção, escrevemos os termos que multiplicam \lambda: em x o coeficiente é -1, em y é -3 e em z é 2. Logo um vetor de direção da reta dada é
\mathbf{v}=(-1,-3,2).
(Observação: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} também é um vetor de direção válido — por isso há liberdade no sinal ou na escala.)]

Passo 4

Como queremos uma reta paralela à dada e que passe por P=(1,4,-7), devemos usar o mesmo vetor de direção (ou um múltiplo) e o ponto P. Escolhendo um parâmetro t\in\mathbb{R} para a nova reta e usando \mathbf{v}=(-1,-3,2), a forma paramétrica é
\left\{\begin{array}{l} x=1-1\cdot t\\[4pt] y=4-3\cdot t\\[4pt] z=-7+2\cdot t \end{array}\right.
Ou, de forma mais curta,
\left\{\begin{array}{l} x=1-t\\[4pt] y=4-3t\\[4pt] z=-7+2t \end{array}\right.]

Passo 5

Verificação rápida (mental e simples): a diferença entre dois pontos com parâmetros t e t+\Delta t nesta reta é ( -\Delta t, -3\Delta t, 2\Delta t )=\Delta t\cdot(-1,-3,2), ou seja, o deslocamento é sempre um múltiplo de \mathbf{v}=(-1,-3,2), então a reta é realmente paralela à dada. Além disso, para t=0 obtém-se o ponto P=(1,4,-7), logo a reta passa pelo ponto pedido.

Resposta

\left\{\begin{array}{l} x=1-t\\[4pt] y=4-3t\\[4pt] z=-7+2t \end{array}\right.]

Exercícios relacionados