Questão 1. Seja r a reta determinada pelos pontos A=(0,1,1) e B=(2,3,3). Determine:
(a) equação vetorial da reta r que passa por esses pontos.
(b) as equações paramétricas dessa reta.
(c) a equação simétrica dessa reta.
(d) a equação planar dessa reta.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço tridimensional:
  • A=(0,1,1)
  • B=(2,3,3)
E pede quatro coisas sobre a reta r determinada por esses pontos:
(a) equação vetorial da reta r que passa por A e B;
(b) equações paramétricas dessa reta;
(c) equação simétrica dessa reta;
(d) equação(s) planar(es) cuja interseção é a reta r (ou seja, duas equações de planos que definem r).
As informações relevantes são exatamente as coordenadas de A e B. A partir delas será calculado o vetor direção da reta e depois as formas pedidas.

Passo 2

Encontrar o vetor direção da reta.
Regra: um vetor diretor \vec d da reta que passa por A e B é dado por \vec{AB}=B-A (subtrai-se coordenada a coordenada).
Calculemos componente a componente:
\vec{AB} = B-A = (2-0,\;3-1,\;3-1) = (2,\;2,\;2).
Observação didática: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor também serve como vetor direção. Aqui é mais simples dividir por 2 e usar (1,1,1) como vetor direção simplificado. Vou usar \vec d=(1,1,1) porque deixa as contas mais limpas.
Agora a fórmula geral (teoria útil para a prova): equação vetorial de uma reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção \vec d=(d_x,d_y,d_z) é
\vec r(t)=\overrightarrow{OP_0}+t\vec d,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro e \overrightarrow{OP_0} é o vetor posição do ponto P_0.
Aplicando com P_0=A=(0,1,1) e \vec d=(1,1,1), obtemos a equação vetorial:
\vec r(t) = (0,1,1) + t(1,1,1).

Passo 3

Extrair as equações paramétricas a partir da equação vetorial.
Regra: se \vec r(t)=(x_0,y_0,z_0)+t(d_x,d_y,d_z), então
x = x_0 + t d_x,\qquad y = y_0 + t d_y,\qquad z = z_0 + t d_z.
Aplicando ao nosso caso ( x_0=0,\;y_0=1,\;z_0=1,\;d_x=d_y=d_z=1):
x = 0 + t = t,
y = 1 + t,
z = 1 + t.
Comentário prático para prova: às vezes o enunciado pede uma parametrização com parâmetro diferente (por exemplo s ou usando o vetor (2,2,2)). Ambas estão corretas; é só coerência entre a equação vetorial e as paramétricas.

Passo 4

Obter a equação simétrica da reta.
Teoria curta e direta: se nas paramétricas os componentes do vetor direção são todos não nulos, podemos eliminar o parâmetro t e escrever
\frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y}=\frac{z-z_0}{d_z}.
No nosso caso d_x=d_y=d_z=1, então substituindo x_0=0,\;y_0=1,\;z_0=1 dá:
\frac{x-0}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}.
Podemos escrever isso de forma mais enxuta como
\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1},
ou simplesmente
x = y-1 = z-1,
mas a forma simétrica padrão é
\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}.
Observação didática: se algum componente d_i fosse zero, a forma simétrica precisa ser adaptada (não se divide por zero); aí a componente correspondente teria equação constante (por exemplo x=x_0).

Passo 5

Encontrar equações planares (dois planos) cuja interseção é exatamente a reta [r).
Ideia e teoria curta: em \mathbb{R}^3 uma reta pode ser descrita como interseção de duas parcelas (planos). Para que um plano contenha a reta r, seu vetor normal \vec n deve ser ortogonal ao vetor direção \vec d da reta (ou seja, \vec n\cdot\vec d=0). Se escolhermos dois vetores normais \vec n_1,\vec n_2 ambos ortogonais a \vec d e independentes entre si, então os dois planos dados por \vec n_1\cdot(\vec r-\overrightarrow{OA})=0 e \vec n_2\cdot(\vec r-\overrightarrow{OA})=0 têm interseção a reta r.
Aplicando ao caso concreto: \vec d=(1,1,1). Vetores com soma das componentes zero são ortogonais a \vec d. Escolho dois vetores simples e independentes que satisfazem isso, por exemplo
\vec n_1=(1,-1,0),\qquad \vec n_2=(1,0,-1).
Verificação rápida (produto escalar):
\vec n_1\cdot\vec d = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 0\cdot1 = 0,
\vec n_2\cdot\vec d = 1\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0.
Ambos são ortogonais a \vec d, e \vec n_1 e \vec n_2 não são múltiplos um do outro, logo são independentes.
Agora escrever as equações dos planos que passam por A=(0,1,1). A equação geral de um plano com normal \vec n=(a,b,c) que passa por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Para \vec n_1=(1,-1,0) e P_0=A:
1\cdot(x-0) + (-1)\cdot(y-1) + 0\cdot(z-1)=0
que simplificando dá
x - (y-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y + 1 = 0.
Para \vec n_2=(1,0,-1) e P_0=A:
1\cdot(x-0) + 0\cdot(y-1) + (-1)\cdot(z-1)=0
que simplificando dá
x - (z-1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - z + 1 = 0.
Conclusão prática: o sistema formado por
\begin{cases} x - y + 1 = 0,\\[4pt] x - z + 1 = 0 \end{cases}
tem interseção exatamente igual à reta r\] (pode-se ver que daí \(y=z=x+1, o que coincide com as paramétricas encontradas).]

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(t) = (0,1,1) + t(1,1,1),\\ t\in\mathbb{R}
(b) \displaystyle x=t,\quad y=1+t,\quad z=1+t,\\ t\in\mathbb{R}
(c) \displaystyle \frac{x-0}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}
(d) \displaystyle x - y + 1 = 0
\displaystyle x - z + 1 = 0

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