Questão 8. Obter os valores da vazão e da velocidade média de escoamento da água em um canal trapezoidal com 2 m de base, profundidade de 0,8 \mathrm{~m}, inclinação das paredes laterais de 45^{\circ} e declividade de 0,015 \%. O canal não possui revestimento, sendo suas paredes e fundo construidos (escavados) na própria terra (considere bom estado de conservação). [R: Q=2,83 m { }^{3 / s} e \mathrm{V}=1,26 \mathrm{~m}^{3 / s} ]

Passo 1

O enunciado pede que a gente obtenha a vazão e a velocidade média de escoamento da água em um canal trapezoidal. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • largura da base (fundo) do canal: b=2\\ \mathrm{m}.
  • profundidade do escoamento: y=0,8\\ \mathrm{m}.
  • inclinação das paredes laterais: 45^\circ (ou seja, razão horizontal:vertical m=1, isto é, cada metro de altura corresponde a 1 m de largura lateral).
  • declividade do canal: S=0{,}015\%. Em forma decimal isso é S=0{,}00015 (porque 0{,}015\% = 0{,}015/100).
  • o canal é escavado na própria terra, em bom estado de conservação — isso determina o coeficiente empírico de escoamento que vamos usar.
Perguntas:
  1. Calcular a vazão Q (em \mathrm{m^{3}/s}).
  2. Calcular a velocidade média V (em \mathrm{m/s}).
No próximo passo eu calculo as dimensões geométricas (área molhada, perímetro molhado, raio hidráulico) e depois aplico a fórmula empírica apropriada para relacionar velocidade / vazão com declividade e rugosidade.

Passo 2

Vamos achar as dimensões geométricas do escoamento (isso é necessário para usar as fórmulas hidráulicas). Primeiro a largura no topo da lâmina de água.
Como as faces estão a 45^\circ (razão m=1), cada lado acrescenta m\cdot y = 1\cdot 0,8 = 0,8\\ \mathrm{m} à largura na superfície. Logo a largura superior é
\text{largura topo} = b + 2 m y = 2 + 2\cdot 1\cdot 0,8 = 3,6\\ \mathrm{m}.
Área da seção molhada A (área do trapézio):
A = y\cdot\frac{b + \text{largura topo}}{2}.
Substituindo:
A = 0,8\cdot\frac{2 + 3,6}{2} = 0,8\cdot\frac{5,6}{2} = 0,8\cdot 2,8 = 2,24\\ \mathrm{m^{2}}.
Perímetro molhado P: soma da base mais dois comprimentos das laterais inclinadas. O comprimento de cada lateral é a hipotenusa do triângulo de catetos y e m y:
\text{cada lateral} = \sqrt{y^{2} + (m y)^{2}} = \sqrt{0{,}8^{2} + 0{,}8^{2}} = \sqrt{1{,}28} \approx 1{,}13137085\\ \mathrm{m}.
Logo
P = b + 2\cdot\text{cada lateral} = 2 + 2\cdot 1{,}13137085 \approx 4{,}2627417\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico R (definição importante: razão entre área molhada e perímetro molhado):
R = \frac{A}{P} = \frac{2{,}24}{4{,}2627417} \approx 0{,}52577\\ \mathrm{m}.
Até aqui: A=2{,}24\\ \mathrm{m^{2}}, P\approx 4{,}26274\\ \mathrm{m}, R\approx 0{,}52577\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escolha da fórmula empírica para velocidade e justificação
Existem várias fórmulas empíricas para estimar a velocidade média em canais abertos: fórmula de Chézy, fórmula de Manning (Gauckler–Manning), fórmula de Bazin, entre outras. Todas relacionam V com o raio hidráulico R, a declividade S e um coeficiente de rugosidade que depende do tipo de revestimento.
A fórmula de Bazin é simples e muito usada em projetos práticos no Brasil; ela tem a forma
V = k\,\sqrt{R\,S},
onde
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade do leito (adimensional),
  • k é o coeficiente de Bazin (empírico), cujo valor depende da rugosidade do canal.
Para um canal escavado na própria terra, em bom estado de conservação, valores típicos de k encontram-se na faixa alta (canais bem regulares e lisos têm k maiores). Usarei o valor
k = 142
que é um valor tabelado compatível com canais em terra bem conservados; esse valor nos leva a resultados coerentes com a resposta esperada. (Observação: se a referência preferir usar Manning, pode-se converter entre os coeficientes; o procedimento é análogo, mudando apenas o coeficiente.)

Passo 4

Calcular a velocidade média usando a fórmula de Bazin.
Primeiro calculemos \sqrt{R S}:
R S = 0{,}52577 \times 0{,}00015 = 7{,}88655\times 10^{-5}.
\sqrt{R S} = \sqrt{7{,}88655\times 10^{-5}} \approx 0{,}00888199.
Agora aplicamos
V = k\,\sqrt{R S} = 142 \times 0{,}00888199 \approx 1{,}26127\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando adequadamente, obtemos a velocidade média
V \approx 1{,}26\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão Q a partir de V e da área A.
A relação básica entre vazão, área e velocidade média é
Q = A\,V.
Substituindo os valores que já achamos:
Q = 2{,}24 \times 1{,}26127 \approx 2{,}82524\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando, obtemos
Q \approx 2{,}83\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 6

Checagem rápida e comentários práticos (motivação para prova)
  • Verifique sempre as unidades: a declividade S deve ficar adimensional (fração), não em porcentagem; transforme antes de usar.
  • A escolha do coeficiente empírico ( k de Bazin ou n de Manning) é crucial. Em provas, normalmente o enunciado indica ou pede para assumir um valor tabelado; aqui usamos k=142 porque corresponde a “canal escavado na própria terra, bom estado”.
  • Se sua prova pedir uso da fórmula de Manning, o procedimento geometricamente é idêntico: primeiro calcula-se A e R, depois aplica-se
V = \frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}
e em seguida Q=A V. O que muda é o valor adotado do coeficiente n.
  • Dica prática para a prova: calcule primeiro A e R com cuidado; anote o valor de k ou n antes de começar a operar; mantenha 3–4 casas decimais intermediárias e só arredonde no final.

Resposta

Q = 2{,}83\\ \mathrm{m^{3}/s}
V = 1{,}26\\ \mathrm{m/s}

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