Questão 6. Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão de 2365 \mathrm{~L} / \mathrm{s} quando estiver 75% cheia. Qual diâmetro deverá ser usado? [R: 2,1m]

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro de uma manilha circular de concreto que deve transportar uma vazão de 2365\\ \mathrm{L/s} quando estiver 75\% cheia, assentada em um declive de 0,0002. Informações dadas e o que é pedido:
  • Vazão: Q = 2365\\ \mathrm{L/s}.
  • Declive (inclinação): S = 0,0002.
  • A manilha é circular e está 75\% cheia (interpreto isto como a profundidade do escoamento sendo 75\% do diâmetro).
  • Material: concreto (não foi dado coeficiente de rugosidade n; vou usar o valor usual para concreto bem acabado, que é n = 0,013).
  • Pedido: encontrar o diâmetro D que atende essas condições.

Passo 2

Apresentação da fórmula fundamental (fórmula de Manning) e o que cada termo significa. Fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área molhada da seção transversal (m²),
  • R é o raio hidráulico, definido por R = \dfrac{A}{P} (m), com P sendo o perímetro molhado (m),
  • S é o declive (adimensional) e S^{1/2} é sua raiz quadrada.
Explicação curta e prática: para canais circulares parcialmente cheios, devemos expressar A e P em função do diâmetro D e da profundidade do escoamento; em seguida plugamos em Manning e resolvemos para D.

Passo 3

Expressões geométricas para uma seção circular parcialmente cheia. Seja D o diâmetro e y a profundidade do escoamento. Definimos o ângulo central parcial \alpha (em radianos) tal que a semisseção submersa tem ângulo \alpha. A relação entre y/D e \alpha é:
\cos\alpha = 1 - 2\frac{y}{D}.
A área molhada A e o perímetro molhado P (comprimento do arco submerso) são:
A = \frac{D^{2}}{4}\left(\alpha - \tfrac{1}{2}\sin(2\alpha)\right),
P = D\,\alpha.
O raio hidráulico é
R = \frac{A}{P} = \frac{D}{4}\left(1 - \frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha}\right).
Comentário didático: estas fórmulas vêm da área de um setor circular menos o triângulo correspondente e do comprimento do arco (raio vezes ângulo), com raio do círculo igual a D/2.

Passo 4

Aplicar a condição “75% cheia” como profundidade y = 0{,}75\,D e calcular \alpha. Usando \cos\alpha = 1 - 2\frac{y}{D}:
\cos\alpha = 1 - 2(0{,}75) = 1 - 1{,}5 = -0{,}5.
Logo
\alpha = \operatorname{arccos}(-0{,}5) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}\\ \text{rad} \approx 2{,}0943951\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcular A em função de D com o \alpha obtido. Primeiro avaliaremos o termo \alpha - \tfrac{1}{2}\sin(2\alpha). Como 2\alpha = 4\pi/3 = 240^\circ, temos \sin(2\alpha) = \sin(240^\circ) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}8660254. Então
\alpha - \tfrac{1}{2}\sin(2\alpha) = 2{,}0943951 - \tfrac{1}{2}(-0{,}8660254) = 2{,}0943951 + 0{,}4330127 = 2{,}5274078.
Portanto
A = \frac{D^{2}}{4}\cdot 2{,}5274078 = 0{,}63185195\,D^{2}.

Passo 6

Calcular o raio hidráulico R em função de D. Usando
R = \frac{D}{4}\left(1 - \frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha}\right),
com \sin(2\alpha) = -0{,}8660254 e 2\alpha = 4{,}1887902, temos
\frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha} = \frac{-0{,}8660254}{4{,}1887902} \approx -0{,}206011,
logo
1 - \frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha} = 1 - (-0{,}206011) = 1{,}206011.
Assim
R = \frac{D}{4}\cdot 1{,}206011 = 0{,}3015028\,D.

Passo 7

Substituir A e R na fórmula de Manning. Primeiro calcule R^{2/3}:
R^{2/3} = \left(0{,}3015028\,D\right)^{2/3} = 0{,}3015028^{2/3}\,D^{2/3}.
Numérico: 0{,}3015028^{2/3} \approx 0{,}4493. Então
A\,R^{2/3} = \left(0{,}63185195\,D^{2}\right)\left(0{,}4493\,D^{2/3}\right) = 0{,}28374\,D^{8/3}.
Agora a equação de Manning fica
Q = \frac{1}{n}\,0{,}28374\,D^{8/3}\,S^{1/2}.

Passo 8

Isolar o diâmetro D. Rearranjando:
D^{8/3} = \frac{Q\,n}{0{,}28374\,S^{1/2}} \quad\Rightarrow\quad D = \left(\frac{Q\,n}{0{,}28374\,S^{1/2}}\right)^{3/8}.

Passo 9

Substituir valores numéricos. Converter Q para \mathrm{m^{3}/s}:
Q = 2365\\ \mathrm{L/s} = 2{,}365\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Usando n = 0{,}013 (concreto) e S = 0{,}0002 com \sqrt{S} = 0{,}014142136,
\frac{Q\,n}{0{,}28374\,S^{1/2}} = \frac{2{,}365\cdot 0{,}013}{0{,}28374\cdot 0{,}014142136} = \frac{0{,}030745}{0{,}0040139} \approx 7{,}657.
Portanto
D = 7{,}657^{3/8} = 7{,}657^{0{,}375} \approx 2{,}144\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Interpretação e arredondamento final. O diâmetro calculado é D \approx 2{,}144\\ \mathrm{m}. Arredondando para uma casa decimal (prática comum em especificação de manilhas), obtemos D \approx 2{,}1\\ \mathrm{m}.

Resposta

2,1 m

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