Questão 6. Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão de
quando estiver 75% cheia. Qual diâmetro deverá ser usado? [R: 2,1m]
Passo 1
O enunciado pede o diâmetro de uma manilha circular de concreto que deve transportar uma vazão de
quando estiver
cheia, assentada em um declive de
. Informações dadas e o que é pedido:
- Vazão:
. - Declive (inclinação):
. - A manilha é circular e está
cheia (interpreto isto como a profundidade do escoamento sendo do diâmetro). - Material: concreto (não foi dado coeficiente de rugosidade
; vou usar o valor usual para concreto bem acabado, que é ). - Pedido: encontrar o diâmetro
que atende essas condições.
Passo 2
Apresentação da fórmula fundamental (fórmula de Manning) e o que cada termo significa. Fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme:
onde:
-
é a vazão (m³/s), -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área molhada da seção transversal (m²), -
é o raio hidráulico, definido por (m), com sendo o perímetro molhado (m), -
é o declive (adimensional) e é sua raiz quadrada.
Explicação curta e prática: para canais circulares parcialmente cheios, devemos expressar
e
em função do diâmetro
e da profundidade do escoamento; em seguida plugamos em Manning e resolvemos para
.
Passo 3
Expressões geométricas para uma seção circular parcialmente cheia. Seja
o diâmetro e
a profundidade do escoamento. Definimos o ângulo central parcial
(em radianos) tal que a semisseção submersa tem ângulo
. A relação entre
e
é:
A área molhada
e o perímetro molhado
(comprimento do arco submerso) são:
O raio hidráulico é
Comentário didático: estas fórmulas vêm da área de um setor circular menos o triângulo correspondente e do comprimento do arco (raio vezes ângulo), com raio do círculo igual a
.
Passo 4
Aplicar a condição “75% cheia” como profundidade
e calcular
. Usando
:
Logo
Passo 5
Calcular
em função de
com o
obtido. Primeiro avaliaremos o termo
. Como
, temos
. Então
Portanto
Passo 6
Calcular o raio hidráulico
em função de
. Usando
com
e
, temos
logo
Assim
Passo 7
Substituir
e
na fórmula de Manning. Primeiro calcule
:
Numérico:
. Então
Agora a equação de Manning fica
Passo 8
Isolar o diâmetro
. Rearranjando:
Passo 9
Substituir valores numéricos. Converter
para
:
Usando
(concreto) e
com
,
Portanto
Passo 10
Interpretação e arredondamento final. O diâmetro calculado é
. Arredondando para uma casa decimal (prática comum em especificação de manilhas), obtemos
.
Resposta
2,1 m